グラムシュミットの正規直行化について

質問

グラムシュミットの正規直行化について質問させていただきます。

列ベクトル
v1=(a,a,a,a...,a)
v2=(a,a,a,a...,a)
vn=(a,a,a,a...,a)
（aはすべて同じ値の実数）
があったとき、グラムシュミットの正規直行化を施すと
u1=v1/|v1|
u2=(0,0,0,0...,0)
un=(0,0,0,0...,0)
になりますか？

別の聞き方をしますと、
ベクトルの成分がまったく同じベクトルの空間に対してグラムシュミットの正規直行化を施すと、
初めのベクトル以外はすべて零ベクトルになりますか？

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

なります。

1)1本目のベクトルの長さを1に直す。
2)2本目のベクトルから、1本目の正射影成分をさっ引いて、長さを1に直す。
3)3本目のベクトルから、1本目と2本目の正射影成分をさっ引いて、長さを1に直す。
　　　・
　　　・
　　　・
m)m本目のベクトルから、1～(m-1)本目の正射影成分をさっ引いて、長さを1に直す。
　　　・
　　　・
　　　・

という手順を見れば明らかですよね。n本のベクトルが独立な時だけ、長さnの正規直交基底を作れます。

＞ベクトルの成分がまったく同じベクトルの空間・・・

は、a≠0でも次元1の部分空間です。2本目以降が1本目と直交して0でないなんて、困りますよね？(^^;)。

お礼

お早い回答ありがとうございます。
助かりました。