グラムシュミットの直交化に関する質問です

質問

グラムシュミットの直交化をする過程で、２つめの正規直交基底e2を求める際に

a2'=a2-<a2-e1>e1

と置きますが、<a2-e1>e1はどんなベクトルを意味しているのでしょうか？行列の内積はなに？？その内積に(基底)e1をかけるのは何を意味すしているのか？？？わかりません。

またこの直交行列で実対象行列を対角化できるのですが、普通に固有値を求めて対角化できるのになぜこの様なことをしなければいけないのでしょうか？？

さらに、実対象行列じゃない場合にグラムシュミットの直交化を使えば対角化はある場合を除いて可能なのでしょうか？？

一度にいっぱい質問して申し分けないんですが、教えてください！！

回答No.4

tecchan22

＃３です。一箇所ミス。最後、
任意の行列は→任意の正則（行列式が０でない）行列は

回答No.3

tecchan22

例えば空間座標で、点Ｐのｘ座標は、
ＯＰ↑（ＯＰベクトルのつもり）とｘ軸の基本ベクトル（１，０，０）との内積で出ますよね。

一般に単位ベクトルｅに対し、「ｅを基本ベクトルとするＥ軸」をつくったとき、点ＰのＥ座標は、ＯＰ↑・ｅ（＝ｋと置く）で出ます。
（・は内積。内積の定義に戻って考えてみよう）

点ＰからＥ軸に下ろした垂線の足をＰ’とすると、ＯＰ’↑＝ｋｅ
（＝（ＯＰ↑・ｅ）ｅ）
です。（ｋは定数、ｅはベクトルに注意。これをＯＰ↑の、ｅ方向の正射影ベクトルという）

よって、ＯＰ↑＝ＯＰ’↑＋Ｐ’Ｐ↑
＝ｋｅ＋（ＯＰ↑－ｋｅ）　　（いわゆる直交分解）
で、ＯＰ↑をｅと平行なベクトルと垂直なベクトルの和に分解したときの、ｅと垂直な部分が、ＯＰ↑－ｋｅとなります。

ａ２が点Ｐの位置ベクトルという形でやりましたが、意味は同じです。

分からねば、「正射影ベクトル」を勉強して下さい。

君の聞いていることと違うかもしれないが、行列の列（たて）ベクトルの（グラムシュミット）直交化は上三角行列を右からかけることで実行できるから、任意の行列は、上三角行列を右からかけることで、直交行列にできると分かりますね。

回答No.2

reiman

実行列の場合に直交行列によって対角化されるものは実対称行列のみです。
ちなみに、
複素行列の場合にユニタリ行列によって対角化されるものは正規行列のみです。

回答No.1

dephands

・<a2-e1>e1はどんなベクトルを意味しているのでしょうか？
a2'とe1が直交するように作っただけです。なので、a2のうち、e1の向きの成分といえます。

・なぜこの様なことをしなければいけないのでしょうか？？
対角化と正規直交化は別の操作です。正規直交化は、単純に正規直交規定が欲しいときにやるものじゃないかな。