中学数学 三角形の面積の求め方と三平方の定理

質問

三平方の定理を使った、三角形の面積の求め方について教えてください。

一辺が6ｃｍ、の正三角形の面積を求める場合、
真ん中に垂直に線ABを引いて（直角三角形が2つ）と考え、三平方の定理に当てはめると、
3の2乗+線ABの2乗＝6の2乗になり、線AB＝3√3になる。
三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、6×3√3÷2になり、
面積は9√3ｃm2になるという問題で疑問があります。

三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、単純に6×6÷2＝18cm2ではないのですか？
直角三角形も、2等辺三角形も、正三角形も、
どんな三角形でもこのやり方で計算が出来たと思うのですが、
9√3と、18と答えが違うのはどうしてでしょうか。
9√3＝√27で、18は＝324になるので、9√3＝18ではないですよね。

同じやり方で円錐の体積を求める計算があるのですが、同じようになってしまいます。
何か思い違いがあるのだと思いますが、何を思い違いしているのかわかりません。
なぜこうなるのか易しく教えてください。

回答No.3

kamobedanjoh · ベストアンサー

『三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、単純に6×6÷2』
あなたは、正三角形の高さをどうやって求めましたか？
チョット紙に書いてみるだけでも、頂点から垂線を降ろさなければ高さは分からないですよね。
６cmは高さで無くて、一辺の長さですから、あなたはそこを勘違いしています。
直角三角形なら一辺を高さと見なせますが、直角を持たない場合は直角を作り出す作業が必要に成ります。
正しい計算法では、垂線の高さを計算で求めていて、それによって垂線と底辺とで直角を作り、２等分されて出来た二つの三角形の面積を三平方の原理から算出しています。
三角形の高さと一辺の長さは同じで無いことは簡単に分かりますね。
円錐の場合も、高さは上と同様に垂線の高さを求めなければ、計算出来ません。

お礼

直角三角形の1辺を高さとみなす所を、直角でない三角形でも同じ計算でしてしまいました。
ここがおかしかったのですね。
小学校の三角形の面積では、直角でない三角形の場合は、ちゃんと高さの数字が書いてあったので、
今まで間違えず出来てたのだと思います。
それが高さを自分で計算するようになって、勘違いしたのだとわかりました。

早朝にもかかわらず、丁寧な回答をみなさんどうもありがとうございました。

回答No.2

cbm51901

正三角形の一辺を底辺としましょう。
分かり易いようにその辺を水平に置くとします。
すると、残りの二辺はそれぞれ、水平に置いた辺の両端から60°の角度で中央上方へ延びて交わることになります。ということはこの正三角形の高さは6cmではあり得ません。高さが6cmであるためには、残りの二辺が垂直に伸びていかなければならないからです。しかしこれでは二辺は永遠に交わらず、三角形はできません。

もう一つの解き方で検証してみます。

正三角形の真ん中に垂直に線ABを引いて直角三角形を２つ作ります。
この直角三角形の場合、対辺/隣辺 = 高さ/底辺 = 高さ/3 = Tan 60° = √3 です。
従って高さは、3√3 cm になります。
底辺が3cmですから、面積は、(3 x 3√3) ÷ 2
２つの直角三角形の面積を合算すると、2 x (3 x 3√3) ÷ 2 = 9√3 cm2 となります。

お礼

正三角形で各辺が6センチの時、底辺が6、高さ6でいいと思っていたのですが、
そこがそもそも勘違いなのですね。
6は辺であって、高さではないのですね。

回答No.1

asuncion

底辺が6センチの正三角形の高さが
どうして6センチになるのでしょうか。
図を描くなどして、よく考えてみてください。

＞9√3＝√27

？？？

お礼

正確には高さ6センチではなくて、全ての辺が6センチで、
小学校の頃は、長さがわかっているところを2箇所、底辺、高さと考えて計算していたように思うのですが、
各辺の長さを適当に置き換えて考えてみると計算がおかしくなりますね。

なんとなく小学校でそうだと思ってたのですが、2等辺三角形の面積の問題のときは、
辺の長さではなく、高さの数字の補助が書いてあったのかもしれません。
うまく説明できなくてすみません。