この論理の展開は正しいでしょうか？

質問

言葉の細かい定義はとりあえず置いておいて、あくまで論理の展開についてお尋ねします。

まず、「仲の良い人とは、仕事がうまくいく」という前提があったとします。
これは、「仲の良くない人とは、仕事がうまくいかない」とイコールでしょうか？
間違っていたら、お手数ですが前提とイコールになるのは何か、教えていただけないでしょうか？

それと、前提とイコールになる主張の否定を教えていただけないでしょうか？

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

>「仲の良くない人とは、仕事がうまくいかない」
これは「裏」というやつで、もとの命題と同等では
ありません。

否定は、仲が良くかつ仕事がうまくゆかない
です。仲がよいならば仕事がうまくゆかない
ではないことに注意。

回答No.7

shintaro-2

図を描くのが一番理解しやすいです。

大きな◎を考え、
内側の小さい○の中が仲の良い人、その外側は仲の悪い人
外側の○の中が仕事がうまくいった場合、その外側は仕事がうまくいかなかった場合です。

そうすると、仲の良い人はすべて外側の○に含まれています。
つまり前提の、「仲の良い人とは、仕事がうまくいく」という命題を表すわけです。

ここで、外側の○と内側の○との間の領域を考えると、
「仲は良くないが仕事がうまく行った」というケースに該当するわけです。

つまり、外側の○の更に外側の領域が
「仕事がうまくいかない場合は、仲の良くない人と組んだ時」という、
命題の待遇で、命題が真ならば必ず成立するものになります。

回答No.6

Knotopolog

＞これは、「仲の良くない人とは、仕事がうまくいかない」とイコールでしょうか？

「仲の良い人とは、仕事がうまくいく」が「真」ならば，「仲の良くない人とは、仕事がうまくいかない」も「真」です．
何故ならば，「仲の良くない人とは、仕事がうまくいかない」は，「仲の良い人とは、仕事がうまくいく」の「対偶」だからです．
下記のウィキペディアを参考にして下さい．

対偶 (論理学) （ウィキペディア）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%81%B6_(%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6)
命題「AならばB」に対する「BでないならAでない」という命題。⇒対偶 (論理学)（ウィキペディア）

以上です．

回答No.5

noname#212313

>「仲の良い人とは、仕事がうまくいく」

　これを論理で扱いやすいよう、

命題「（仲の良い人と一緒に仕事をしている）ならば（仕事がうまくいっている）となる」

と書き換えておきます（因果関係や時間の順序によって、論理が単純に行えないことがあるため、同時に起こり、因果関係がないように記述しなおした→P.S.参照）。これが真であるとします。

　命題に対して、順序を入れ替えたり、否定を用いたりして、別の命題を作ることができます。以下の3つがよく用いられます。

逆「（仕事がうまくいっている）ならば（仲の良い人と一緒に仕事をしている）」
→順序を逆にしたもの。

裏「｛（仲の良い人と一緒に仕事をしている）のではない｝ならば、｛（仕事がうまくいっている）のではない｝となる」
→命題の前段と後段を否定したもの。

対偶「｛（仕事がうまくいっている）のではない｝ならば、｛（仲の良い人と一緒に仕事をしている）のではない｝となる」
→命題の前段と後段を否定し、さらに順序を逆にしたもの（逆をさらに裏にしたもの）。

　論理では命題と対偶の真偽が一致することが知られています。裏と逆はケースバイケース、必ずしも命題と真偽が一致しません。

　それは集合でいえば、以下のようになっているからなのです。

┌────仕事がしている事例の集合────┐
│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│
│┌─仕事がうまくいっている事例の集合─┐│
││　　　　　　　　　　　　　　　　　　││
││┌仲の良い人と仕事しいる事例の集合┐││
│││　　　　　　　　　　　　　　　　│││
││└────────────────┘││
│└──────────────────┘│
└────────────────────┘

　命題が真なら、仲の良い人と仕事をしている、というのは、仕事がうまくいっている、という場合全体からすれば、その一部になります。なぜなら、仲の良い人と仕事をしているのに、仕事がうまくいっていないなら、命題が偽になりますから。

　仕事がうまくいっていないとします。それは上図でいえば、仕事がしている事例の集合から、仕事がうまくいっている事例の集合を除いたものになります。当然ですが、仲の良い人と仕事しいる事例の集合も除かれています。仕事がうまくいっている事例の集合に含まれているからですね。これが命題に対する対偶になっています。

　命題が偽の場合も同様にして、命題と対偶の関係を確かめることができますが、割愛します。

　逆や裏だと、こういう集合での関係が保証できません。そのため、逆や裏は必ずしも命題と真偽が一致しないです（必ず真偽が異なるということではなく、合ったり合わなかったりする）。

>前提とイコールになる主張の否定

　仲の良い人と仕事をする事例の集合が、仕事がうまくいかない事例の集合に含まれるようにするのが論理で使われる命題（仰る前提）の否定となります。

否定「仲の良い人とは、仕事がうまくいかない」

となります。

P.S.

・命題「叱られないと、勉強しない」

が真であるとします（よくあるケース）。すると、

・対偶「勉強すると、叱られる」

も真になることになります（こんなことは、普通はない）。これは明らかにおかしです。因果関係、時間の順序があることが原因です。

　少し変えて、

・命題「叱られたから、勉強している」
・対偶「勉強しているのは、叱られたからだ」

などであれば正しく論理を扱えます（日本語は時制が曖昧だけど、時制が厳密な英語だともう少しはっきりさせることができる）。

回答No.4

178-tall

同一集合 M を二分する二つのルール {a, b} … ？
　a → M = A + A~　　; A = {仲の良い人} , A~ = {仲の良くない人}
　b → M = B + B~　　; B = {仕事がうまくいく} , A~ = {仕事がうまくいかない}

この前提から、集合 M は (空集合もカウントすれば) 四つの部分集合に分割されそう。

でも、
>前提とイコールになる主張の否定…
… って、何のことだろう？

回答No.3

yaemon_2006

"仲の良い人とは、仕事がうまくいく"
"仲の良い人" 十分条件
"仕事がうまくいく" 必要条件
十分条件は必要条件の部分集合

回答No.2

jmh

> これは、「仲の良くない人とは、仕事がうまくいかない」とイコールでしょうか？
>
いいえ、たぶん違います。

> 前提とイコールになるのは何か
>
例えば、前提自身「仲の良い人とは、仕事がうまくいく」は（当たり前ですが）イコールです。「仕事がうまくかない人とは仲が良くない」もイコールだと思います。

> 前提とイコールになる主張の否定
>
前提の否定は「仲の良い人とでも仕事がうまくいかないことがある」だと思います。

回答No.1

noname#201420

こちらで勝手に解釈して

Ａ（ｘ）＝（私はｘと仲が良い）
Ｂ（ｘ）＝（私はｘとの仕事がうまくいく）
Ｐ＝∀ｘ｛Ａ（ｘ）⇒Ｂ（ｘ）｝

とおきます。

Ｐは
「すべてのｘに対して、もし私はｘと仲が良ければ私はｘとの仕事がうまくいく」
という意味です。

Ｐの対偶をとると
Ｐ＝∀ｘ［｛￢Ｂ（ｘ）｝⇒｛￢Ａ（ｘ）｝］
となり
「すべてのｘに対して、もし私はｘとの仕事がうまくいかないならば私はｘと仲が良くない」
という意味です。

￢Ｐ＝∃ｘ［Ａ（ｘ）∧｛￢Ｂ（ｘ）｝］

となります。￢ＰはＰの否定を表す記号で、これは
「あるｘが存在して、私はｘと仲が良くてなおかつ私はｘとの仕事がうまくいかない」
という意味です。

さて、
Ｑ＝∀ｘ［｛￢Ａ（ｘ）｝⇒｛￢Ｂ（ｘ）｝］
とおくと、これは
「すべてのｘに対して、私はｘと仲が良くなければ私はｘとの仕事がうまくいかない」
という意味です。ＱのことをＰの裏といいます。

Ｑの対偶をとると
Ｑ＝∀ｘ｛Ｂ（ｘ）⇒Ａ（ｘ）｝
となり（Ｐの逆）、これは
「すべてのｘに対して、私はｘとの仕事がうまくいけば私はｘと仲が良い」
という意味です。つまり、Ｐの裏とＰの逆は互いに対偶の関係であり同じことを言っています。しかしこれらはＰともＰの否定とも違います。