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論理
n、mは自然数とする。(m+1)^2>n>m^2-1・・・{1}について、次の命題の否定を示し、真偽を調べよ。 (1)すべてのmについて、あるnをとると{1}がなりたつ。 (2)あるnをとると、すべてのmについて{1}がなりたつ。 否定と真偽はわかるんですけど、証明の論理展開がいまいちわかりません、ヒントだけでもいいので、教えてください、よろしくお願いします。
- benefactor_geniu
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No.2の補足への回答です。 (m+1)^2>n>m^2-1・・・{1} もし、(m+1)^2が、m^2-1より2つ以上大きいとすると、必ず(m+1)^2とm^2-1の間の自然数があります。つまり、「あるnをとると{1}がなりたつ」という状態になります。 また、(m+1)^2とm^2-1の差が1以下のときは、(m+1)^2とm^2-1の間の自然数はありません。つまり、「すべてのnについて{1}がなりたたない」という状態になります。 つまり、 「すべてのnについて{1}がなりたたない」 ⇔ (m+1)^2とm^2-1の間の自然数はない ⇔ (m+1)^2≦m^2-1+1 ⇔ (m+1)^2≦m^2 ⇔ m^2 + 2m + 1≦m^2 ⇔ 2m + 1≦0 ということで、「すべてのnについて{1}がなりたたない」と、2m + 1≦0は同値、つまり同じことをあらわしています。(同値な命題のことを、必要十分条件ともいいます。) したがって、「あるmをとると、すべてのnについて{1}がなりたたない」は、 「あるmをとると、2m + 1≦0」(ア) と置き換えることができます。しかし、mは自然数という条件なので、(ア)は成立しません。すなわち、「あるmをとると、すべてのnについて{1}がなりたたない」は偽です。
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- yumisamisiidesu
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この問題を詳しく説明しても何なので 一般的な説明をしたいと思います 2様が言ってた de-morgan法則は重要です(これ丸覚えします) あと覚えてほしいことは ∀a,P の否定は ∃a;(Pの否定) ∃a,P の否定は ∀a;(Pの否定) a<b<c ⇔ (a<b ∧ b<c) ∴ a<b<c の否定は (de-morganより) (a>=b ∨ b>=c) となります
- quantum2000
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No.1さんやNo.4さんの回答で十分だと思いますが、蛇足ながら・・・ {1}は,(m+1)^2>n かつ n>m^2-1 である. ということですから, {1}の否定は,(m+1)^2>n でない かまたは n>m^2-1 でない. ということで,言い換えると, {1}の否定は,(m+1)^2≦n かまたは n≦m^2-1 である. という訳です. すると, (1)の否定は,「あるmがあって,すべてのnについて,{1}でない.」 ということですが,言い換えると, (1)の否定は,「あるmがあって,すべてのnについて,(m+1)^2≦n かまたは n≦m^2-1 である.」 と言い換えられます. すると,「(1)の否定は偽である.」ですが,それを証明するには,「(1)が真である.」を証明した方が判りやすい気がします. つまり,No.4さんのご指摘の通り,{1}でnをはさんでいる2つの整数 (m+1)^2 と m^2-1 は,0または自然数で,その差を考えると, (m+1)^2-(m^2-1)=2m+2 ≧4 ですから,この2つの整数(0または自然数) (m+1)^2 と m^2-1 の間に,自然数nが(3つ以上)存在する. つまり,すべての自然数mについて,ある自然数nが存在して, (m+1)^2>n>m^2-1 となっている訳です.[証明終] 同様に,(2)の否定は,「すべてのnについて,あるmが存在して,(m+1)^2>n でないかまたは m^2-1>n でない.」 ということですから,言い換えると, (2)の否定は,「すべてのnについて,あるmが存在して,(m+1)^2≦n かまたは n≦m^2-1 である. ということになります. すると,(2)の否定は偽であり,その証明はNo.2さんの回答のとおり, すべてのnについて,例えば m=n+1 と取れば, n≦m^2-1 の方がすぐに示せるので,(2)の否定は証明できる訳です.
- shkwta
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No.2でまちがえました。(2)のnとmが逆です。 (2)の否定は「すべてのnについて、あるmをとると{1}がなりたたない」 (2)の否定が真であることの証明 任意のnについて、m = n + 1 とすれば{1}がなりたたない。 に訂正してください。
- shkwta
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否定する前は、(1)は真で(2)は偽です。したがって、(1)の否定は偽、(2)の否定は真となるはずです。 ドモルガンの定理により、 「すべてのAについてP」の否定は「あるAをとるとPでない」 「あるAをとるとP」の否定は「すべてのAについてPでない」 そこで、 (1)の否定は「あるmをとると、すべてのnについて{1}がなりたたない」 (2)の否定は「すべてのmについて、あるnをとると{1}がなりたたない」 (1)の否定が偽であることの証明 すべてのnについて{1}がなりたたないための必要十分条件は (m + 1)^2≦m^2 ⇔2m + 1≦0 これはmが自然数であることに反する。 (2)の否定が真であることの証明 任意のmについて、n = (m + 1)^2 とすれば{1}はなりたたない。
- yumisamisiidesu
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proof (1) (m+1)^2-(m^2-1)=2m+2>=4 ∴ n=(m^2-1)+i (i=1,2,3 の内どれでもいい) とすれば(1)が真であることがわかります (2) 多分偽だと思うので ∀m,(m+1)^2>n ⇒ (1+1)^2=4 ∴n=1,2,3のどれか ∀m,n>m^2-1 ⇒ 5^2-1=24 ∴n>24のどれか 3以下で24より大きい自然数はないので (2)は偽です
補足
返信ありがとうございました。 >(2) 多分偽だと思うので ∀m,(m+1)^2>n ⇒ (1+1)^2=4 ∴n=1,2,3のどれか ∀m,n>m^2-1 ⇒ 5^2-1=24 ∴n>24のどれか 3以下で24より大きい自然数はないので (2)は偽です ここをもっと詳しく教えてください。なぜそうなるのでしょうか?
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補足
>すべてのnについて{1}がなりたたないための必要十分条件は (m + 1)^2≦m^2 ⇔2m + 1≦0 これはmが自然数であることに反する。 よく意味がわかりません。なんで2m + 1≦0がでてくるか、説明してもらわないとわかりません。