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ジャンケンの確率
kony0の回答
- kony0
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状態ｉ：「ある特定の１人」を含むちょうどｉ人が勝ち残っている状態（i=1,2,...,n) 状態０：「ある特定の１人」が負けてしまった状態 と定義します。初期状態は状態ｎです。 いま状態iにいるという仮定のもとで、1回のじゃんけんで状態jに遷移する確率をp(j|i)とおきます。 i≧2のときは p(j|i)=(i-1)C(j-1)/3^(i-1) (for j=1,2,...,i-1) p(i|i)=1-Σ(j=1～i-1)iCj/3^(i-1)=1-(2^i-2)/3^(i-1) p(0|i)=Σ(j=1～i-1)(i-1)Cj/3^(i-1)=(2^(i-1)-1)/3^(i-1) となります。 ちなみにp(1|1)=1, p(0|1)=0, p(0|0)=1ならびにp(j|i)=0 for all j>iとします。（これはp(j|i)の日本語的意味から明らか） n+1次正方行列Aを考え、そのi行j列要素をp(j|i)とします。(i,j=0,1,...,n) n+1次元横ベクトルp[k]を考え、p[0]=(0,0,..,0,1)とした時、p[k]=p[k-1]A=p[0]A^kとすれば、ベクトルp[k]のi番目の要素(i=0,1,...,n)は「k回のジャンケンを終えた」という条件のもとで状態iに存在する確率を表していることになります。（マルコフ連鎖のいちばんBASICな例題） ということで、lim(k→0)p[k]=(1-1/n, 1/n, 0, ..., 0)となることを証明してみてはいかがでしょうか？ （算式で示したいということなら、これより単純かつ簡単な方法を（酔っ払いの）私には思いつきません＆A^nを計算する気もなし。あとはお任せします^^;）
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