f(x)の積分をlog(f(x))に変形

質問

f(x) > 0 が分かっている関数に関しまして [-π, π]の区間の積分をしていたのですが、これをlog(f(x))の形の積分に変形できないかと考えています。

int_[-pi]^[pi] (f(x)) dx = int_[?]^[?] (log(f(x)) dt

t = log(x)とおいた場合、x=-πの時に log(-π)となり計算ができなく行き詰まりました。

上記のような変形は可能でしょうか？
可能な場合、どのような変数変換をするのがいいでしょうか?

回答No.2

tsuda16 · ベストアンサー

>> integ{f(x)}dxの値を再現する時にinteg{log(f(x))}dxのexpを取るといい

これは求める値が変わってしまいますからね。

>> ある複雑な数値計算の出力を積分する必要があるのですが、出力値が5桁くらいの幅

えっと，数値積分する際に，情報落ちするのではないかということですかね。
5桁くらいの足し算なら誤差はそれほど出ないと思いますよ。
どうしても心配なら，ソートして小さい順に足していったらいいのではないですかね。
-pi -- pi を 2n 等分して，h = pi / n, x_i = -pi + i * h (i = 0 -- 2n) とすれば，
例えばシンプソン法で求めるなら，
　　int_{-pi}^{pi} = (h / 3) * (
　　　　(y_0 + y_{2n})
　　　　　　+ 4 * sum_{i = 1}^{n} y_{2i - 1}
　　　　　　+ 2 * sum_{i = 1}^{n - 1} y_{2i}
　　　)
となるので，あらかじめ y[i] に値を読み込んでおいて，
　1. y[2i - 1] で昇順ソート，y[1] -- y[2n - 1] で総和を出す => S1
　2. y[2i] で昇順ソート，y[2] -- y[2n - 2] で総和を出す => S2
　3. S = (y[0] + y[2n] + 4 * S1 + 2 * S2) * (h / 3)
で求めれば，より誤差は小さくなると思いますよ。
y[0] と y[2n] も S2 に足しておいて，
あとで y[0] + y[2n] を引いたほうが安全ですかね。

あるいは，int を sum にして，S = sum f(x) （係数は無視）という発想でいくなら，
g(x) = -f(x) として，S' = sum g(x) = -S とできます。
この exp を取れば，
　　exp S' = exp (sum g(x)) = prod exp(g(x))
となるので，exp(g(x)) の積を取って，log を取っても求められますよ。
f(x) > 0 なら g(x) < 0 が保証されるので，exp(g(x)) < 1 となって，
小さい値に変換はできますが，この場合掛け算になるので桁落ちするでしょうね。

こんな感じで解決できませんか？

お礼

詳細な回答ありがとうございます。

数値計算についてはまだまだ学習が足りないのですが、上記の方法参考になります。

総和における情報落ち回避方法とprod exp(g(x))での計算、非常に参考になりました。

ありがとうございます。

回答No.1

tsuda16

なぜ t = log(x) とおいたのかよくわからないのですが…。
f(x) = x のときで，x と t を入れ替えたのですかね？

何も考えずに，一般解を出そうと思うと，f(x) = g(t) とおく。両辺微分して，
　　f'(x) dx = g'(t) dt
したがって，
　　f(x) dx = g(t) * g'(t) / f'(x) dt （x は f(x) = g(t) を満たす）
右辺が log(f(t)) dt になってほしいので，
　　g(t) * g'(t) / f'(x) = log(f(t))
となる g(t) を見つけることができれば，変換可能だと思います。
f(x) > 0 が保障されているのなら，
この変換の下では質問にあったような座標変換のエラーは起きないと思います。

で，しばらく考えたんですが，残念ながら g(t) が決定できるような f(x) は思いつきませんでした。
f(x) の形によって，その都度，都合のいい変換を考えた方がいいかなと思います。

私は数学が専門ではないので，そういった分野の方でしたら，
何か特殊な解法を持っているのかもしれませんが…。

お礼

色々調べていただきありがとうございます。

一般的に変換できるということでもなさそうなのですね。

実際にやりたかったことは、ある複雑な数値計算の出力を積分する必要があるのですが、出力値が5桁くらいの幅を持っています。log(y)としたら桁の変化が小さく抑えられて、その時に積分精度があがるのだろうか、という疑問を持ってこのような質問をしました。

integ{f(x)}dxの値を再現する時にinteg{log(f(x))}dxのexpを取るといい、ということでもないのでしょうね。

解析的な関数で自分で式変形を試みたのですが、積分がどうもうまく導出できませんでした。