積分について教えてください。

質問

次の等式が理解できません。cos→sinはなんとかよいのですが・・・・・

∫π/2～0（1-cos4θ）dθ＝[θ-sin4θ/4]　π/2～0

数学が苦手です。初心者用の解説をよろしくお願いいたします。

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

順々に説明してみます．

まず積分の線形性を利用します．
積分の線形性：∫(f+g)dx=∫fdx+∫gdx

∫π/2～0（1-cos4θ）dθ=∫0 toπ/2 1 dθ -∫cos 4θ dθ (普通は1は書きませんで∫dθとします．)

右辺の第1項を(1)，第2項を(2)とします．

(1)の積分をするには定数の積分を利用します．
定数の積分：∫cdx=cx＋C

∴ (1)=[θ]0 to π/2

(2)を積分はご指摘通りです．
三角関数の積分：∫sin x dx=-cos x ＋C ，∫cos x dx=sin x＋C ，∫tan x dx=-log|cos x|＋C

また置換積分も用います．
置換積分：∫f(u(x))dx=∫f(u)・(dx/du)du
今回程度の場合は頭の中でやる場合が多いですが，
これから∫cos 4θ dθは次のようになる．
∫cos 4θ dθ=∫cos ｕ (dθ/duθ)du=1/4∫cos u du=(1/4)sin u＋C=(1/4)sin 4θ＋C

∴ (2)=積分[(1/4)sin 4θ] 0 to π/2

上記二つを合わせるので

∫π/2～0（1-cos4θ）dθ=[θ-(1/4)sin 4θ]0 to π/2

となります．分かりましたでしょうか．

お礼

優しいご回答とヒントをいただき、ありがとうございました。

簡単な置換積分の例題とつき合わせながら、ようやく導けました。

もっと理解できる様に頑張りたいと思います。

回答No.1

noname#199411

1→θの方は大丈夫ですよね？
であれば、後は単なる合成関数の積分です。
教科書の該当部分をきっちり理解して
慣れるまでは x＝4θ などと変数変換して計算してみて下さい。
慣れてきたら見ただけですぐ分かるようになります。

ここまで
∫a～b（関数）dθ＝[その原始関数]　a～b
は分かっているものとして書きましたが、
もしここが理解できていない場合は、これも教科書の該当部分を参照して下さい。
これはやり方さえ覚えておけばいいです。

お礼

早々にご回答ありがとございました。

早速、合成関数の勉強をしたいと思います。