三角比の拡張

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

次の等式を満たす角θを求めよ。
ただし、0°≦θ≦180°とする.
(1)sinθ=1/2
私はまず、sinθ=yなので y=1/2でそこからsinθ=x/rを利用するんではないかと考えたのですが、答えの30°、150度とかけ離れたためわかりませんでした。
解説お願いいたします。

数学が大の苦手で困っています。
ご迷惑おかけするかもしれませんが、一生懸命頑張りますのでよろしくお願いいたします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

sinθ＝ｙの方を単位円で考えればいいのですよ。

（わかりやすくするため、記号をつけて説明しています）
１．ｘ、ｙ軸と単位円（この問題では半円でもいいです）をかく。
　　(原点をＯ,円とｘ軸の交点(1,0)をＡとします）
２．sinθの値は単位円上の点のｙ座標なので、ｙ軸の1/2を
　　通るようなｘ軸に平行な線を単位円と交わるまで引く。
　　（円と直線の交点の右をＰ、左をＱとします）
３．ＯとＰ，ＯとＱを結ぶ。
４．ＯＡとＯＰ，ＯＡとＯＱのなす角が求める角θです。
５．ＰからＯＡに垂線ＰＲを引けば、△ＰＯＲはＯＰ＝１
　　ＰＲ＝1/2の直角三角形、つまり斜辺：高さ＝２：１
　　から、２：１：√３の30°、60°、90°の三角形と
　　わかります。
　　　∴∠ＰＯＡ＝30°
６．同じようにＱからｘ軸に垂線ＱＳを引けば、△ＱＯＳと
　　△ＰＯＲは合同だから、∠ＱＯＳ＝30°より、
　　　∴∠ＱＯＡ＝180°-30°＝150°
と求められます。
（cosθ=1/2だったら、２．のところで、ｘ軸の1/2を通る、
　ｙ軸に平行な直線を引いて同じようなことをします）

教科書とか、参考書とか、あるいはネットで検索してみれば
単位円の利用の仕方など図入りでもっとわかりやすいかと。

お礼

debutさん
ありがとうございました。
すごくわかりやすくて本当に助かりました。

回答No.5

tekcycle

30、45、(60)度については即答できなければダメですね。
それは計算問題ではありません。
斜辺の長さが2、1辺の長さが1である直角三角形を知っているか、という問題です。
いわゆる数学っぽい問題ではありません。

ｙのところを一生懸命計算しようとしても、少なくとも高校生の数学力では出てきません。
それは、あなたの生年月日と体重から身長を計算するのと同じ事です。
正三角形を縦に二等分すればその三角形が得られるので、実測値と言い切るわけには行きませんが、まぁθとｙの関係は通常は実測値、くらいに考えておく方が良いと思います。

それに加えて、単位円を描くということをきっちり身に付けろ、というのが150度です。

問題とは別にその三角形についてですが、
適当に直角三角形を描いてみて下さい。
サインというのはどこ分のどこでしたっけ？図に書き込んで下さい。
たぶん図がおかしいので、それっぽい図に描き直しましょう
直角三角形ですから、ピタゴラスの定理から残る一辺の長さも計算できるはずですね。
で、その有名な三角形の各角度はいくつでしょう。
その三角形を知っていればθがいくつかも判るはずです。

お礼

tekcycleさん
ありがとうございました。
ずっと計算で出すと思っていました。
やっとこれで解決できました。

回答No.4

hugen

sinθ=x/r ？　惜しい！　　sinθ=y/r
r=2,y=1　として　　x^2+y^2=r^2　　　へ代入すると　　x=±√3
つまり、(x,y,r)=(±√3,1,2)　　　と　二つある。

お礼

hugenさん
ありがとうございました。
間違えをおしえてださってこれから間違えずにすみます。

回答No.2

gungnir7

sinθ=x/rは便利な考え方なんです。
多分、これから何十年先にふと三角関数を使う羽目になったときに
まずはここへ返ってくるわけですから。

でも、これは直角三角形までの考え方で
それ以上のことをこの考えで処理しようとすると迷路に入ります。

拡張を考えた場合は単位円（半径１の円）で考えた方がいいです。
なぜならばθを0≦θ≦360°で変化させて（cosθ、sinθ）の座標に点を打っていくと
１周まわってきて半径１の円が出来上がるからです。
ちなみに半径ｒの円は（r・cosθ、ｒ・sinθ）の位置に点を打っていきます。

y=1/2ということはｘ座標がが＋のときと－のときがあります。
30°は+√3のときで150°は-√3のときの値です。

お礼

gungnir7さん
ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.1

neoty

まずsinθ=1/2でθ＝30°というのは即答出来なければなりません．定番直角三角形の一角ですので．
次に，単位円を書いて，図的に求めた方が早いです．ここは基礎中の基礎なので教科書に載っている所だと思います．

お礼

neotyさん
ありがとうございました。

教科書に載っていましたが詳しく書かれていませんでした・・
でも即答できるぐらい勉強したいと思います。