高校数学の複利計算の問題の再質問です 4-3

質問

ある人が毎年のはじめにa円ずつの積み立て預金をn年目まで行い(n+1)年目の以後は毎年のはじめに、その前年1年間の利息b円を受け取るという計画を立てた、ただし、年利率をrとし1年毎の複利計算とする

(1)ｂをa,n,rを用いて表せ

解説はたとえば、はじめ、(1年目)のa円は丸2年経過した3年目のはじめにおいて元利合計はa(1+r)^2(円)となるから、

題意の積み立て預金のn年目のはじめにおける元利合計はa(1+r)^(n+1)+a(1+r)^(n-2)+....+a(1+r)^0

=a{(1+r)-n-1}/(1+r)-1=a{(1+r)^n-1}/r(円) n年目のはじめから

1年間の利息は、これをr倍したものでb=a{(1+r)^n-1}とあるのですが、元利合計って今あるお金の全額ってことですよね？3年目のはじめにあるのは,順にやると

2年目のはじめには1年目のはじめに入れたaに利息がついてarとなり1年目のはじめに入れたaがa+arでa(1+r)ですよね、

それに2年目のはじめに新たに入れるaでa+a(1+r)=a(2+r)になってしまったんですが、3年目のはじめにはa(2+r)に利息がついてa(2+r)rで預けているお金の合計がa(2+r)+a(2+r)r=a(2+r)(1+r)ですね、

これに新たに入れるaを足してa+a(2+r)(1+r)=a{1+(2+r)(1+r)}
となってしまったのですが、何か全然違う気がします、順に追って出来れば宜しくお願いします

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

> これに新たに入れるaを足してa+a(2+r)(1+r)=a{1+(2+r)(1+r)}
> となってしまったのですが、何か全然違う気がします

別にそれで間違いではありませんよ。ただ、その様な方法で計算していくと 4年目, 5年目とどんどん増えていった時にどんどん計算が面倒になってしまい、n年目の表式を見つけるのが難しくなります。その為、解説では少し異なる方法で計算しています。

つまり
(1年目のはじめ) a
(2年目のはじめ) a(1+r) + a (←★ここで1年目に入れた元利a(1+r)と、2年目に追加したaをくっつけない)
(3年目のはじめ) a(1+r)^2 + a(1+r) + a
…
(n年目のはじめ) (1年目のaが成長した額) + (2年目に追加したaが成長した額) + … + (n年目に追加したa)
　= a(1+r)^(n-1) + a(1+r)^2 + … + a
　= a{ 1 + (1+r) + (1+r)^2 + … + (1+r)^(n-1)}
　= a{ ((1+r)^n-1)/((1+r)-1) }.

お礼

御返答有難うございます

補足

すごい、本当に分かりやすいですね、助かりました～感謝感謝です