四の十一 高校数学の複利計算です

質問

1985年3月1日に10万円を借り翌月から毎月1日に1万円ずつ返済することになった、利息は

月5％の複利で返済金は元利合計から差し引かれるものとする
(1)全額返済するのは何年の何月か ただし最終返済額は1万円以下となるものとする
(2)1年五の3月1日に返済した時点での残額は約いくらか 100円単位で答えよ

回答nヵ月後の返済直前における残額をa[n]万円とおき、また1.05=rとおくと
a[n+1]=r(a[n]-1)よってa[n+1]-21=r(a[n]-21)したがってa[1]=10ｒとから

a[n]=r^(n-1)(a[1]-21)+21=21-10r^n(1)

全額返済するのはnヵ月後だとするとnはa[n]<=1をみたす最小のnで(1)によりa[n]<=1⇔20<=10r^n

⇔r^n>=2
⇔n>=log[10]2/log[10]r 対数表よりlog[10]r=log[10](3×5×7)-log[10]100

=0.4771+0.6990+0.8451-2=0.0212であるからa[n]<=1⇔n>=0.3010/0.0212=14.1...

よって答えは15ヵ月後である1986年6月

(2)求める残額はa[12]-1=20-10r^(12)
ここでlog[10]r^(12)=12×0.00212=0.2544よって対数表によりr^(12)≒1.796
したがって求める残額は約20400円

とあるのですが、まず(1)のa[n+1]=r(a[n]-1)の式なのですが、nヵ月後の残額a[n]万円から
1万円を引いて利息の1.05を掛けた物がn+1ヵ月後の残額になっているのですが、
残額に利息を掛けた物が次の月の残額になるんですか？この式の意味が良く分かりません

a[1]=10ｒの所なのですが、1ヵ月後の残額が10rという事ですが、10万円を借りて一ヵ月後の残額は10万円に利息を掛けた物なのですか？1ヵ月後は1万円を返すのでr(10-1)が一ヵ月後の残額ではないのですか？

回答No.3

ken-nosuke · ベストアンサー

A1の方の解答をもう少し説明します。

a[1]=10ｒの所なのですが、1ヵ月後の残額が10rという事ですが、10万円を借りて一ヵ月後の残額は10万円に利息を掛けた物なのですか？1ヵ月後は1万円を返すのでr(10-1)が一ヵ月後の残額ではないのですか？

⇒3月1日から4月1日の間は１０万円借りていたので、その間の利子は１０万円に対し
５％＝５０００円かかります。

すなわち、１か月後の１万円を返す直前の残額は、r(10)、そして１万円を返した後の残額はr(10)-1となります。

お礼

御返答有難うございます

補足

>１か月後の１万円を返す直前の残額は、r(10)、そして１万円を返した後の残額はr(10)-1と>なります。
何故利息だけ掛かっているんですか？3月1日に10万円を借りて4月1日に利息も掛かりますが、1万円も返すんですよね？ですから4月1日の残額は10r-1じゃないんですか？

回答No.2

asuncion

＞1/4というのは何の数字ですか？

4/1と書きました。4月1日の意味です。
四分の一ではありません。

＞3月分利息5000円というのはどこから出てきたんですか？

え？
元金10万円、月利5%だからです。

お礼

御返答有難うございます

補足

>4/1、10000円を返す直前の
>元利合計は、
すいません、4月1日の意味だったんですね、こちらの間違いでした、3月1日に10万円を借りて4月1日に利息が掛かって、同時に1万円を返すのですから、10r-1が4月1日での残額じゃないんですか？

回答No.1

asuncion

4/1、10000円を返す直前の
元利合計は、
元本100000円
3月分利息5000円の
合計105000円です。

お礼

御返答有難うございます

補足

1/4というのは何の数字ですか？3月分利息5000円というのはどこから出てきたんですか？