数列について

質問

数列の問題がわからないので教えてください。

毎期末に利息を元金にくりいれる複利法で、1期の利率がrである時、元金a円に対して1期後の元利合計はa(1+r)円、2期目の終わりの元利合計はa(1+r)^2円となる。

(1)元金a円に対してn期目の終わりの元利合計はいくらになるか？

(2)毎期の初めに一定の金額a円を預ける時、n期後の元利合計はいくらになるか？

(3)年利率2%の複利で、毎年始めに10万円ずつ預ける時、5年目の終わりに元利合計はいくらになるか？
(1.02^5=1.104081とする)

どれか一つでもいいので回答よろしくお願いします。

回答No.5

kkanrei

R^(n+1)＝R^n×Rとなるのはわかるよね。

2＾3＝2^2×2ですから。確認は左辺と右辺を電卓でたたいて確認して下さい。

C×ｐ－ｄ×ｐ＝（C-ｄ）×Pになるのもわかるよね。

ａR^(n+1)-aR=a[R^(n+1)-R]=a[R^n×R-R]＝ａR[R^n-1]
ということです。

この問題は数IIの数列ですが、まだ数Iの因数分解・指数関数あたりの
力が不足しているように思います。
数Iの復習を徹底的にしてください。

回答No.4

kkanrei

A=aR+aR^2+A^3+・・・・・・・・aR^(n-1)＋ａR^n

上式の両辺にRを掛けると
左辺＝AR

右辺
　ａR→ａR^2
　ａR^2→ａR^3
　ａR^3→ａR^4
　　・
　　・
　　・
　　・
　ａR^(n-1)→ａR^n
　ａR^n→ａR^(n+1)

であるから、
AR＝aR^2+aR^3+A^4+・・・・・・・・+aR^n＋ａR^(n+1)

AR-Aを計算するとａR^(n+1)－ａRになるだろう。
真ん中のａR＾2からaR^nは全部引き算すると消えてしまう。

AR-A＝aR^(n+1)-aR
であるから、
左辺をAでくくると　
AR-A＝A(R-1)
右辺をaRでくくると
aR^(n+1)-aR＝aR{R^n-1}

よって、
A(R-1)＝aR{R^n-1}
R-1を右辺に移項すると
A=aR{R^n-1}/(R-1)
となる。

これではどうでしょう。

お礼

何度も回答ありがとうございます。

補足

右辺をaRでくくると
aR^(n+1)-aR＝aR{R^n-1}

になるところを教えていただけないでしょうか?

回答お願いします。

回答No.3

kkanrei

No.1です。
＞どうしてそのようにするのか。

凄く複雑な式だから、計算が面倒です。
簡単な式にするために、Ａ＝Ａ・Ｒ（Ａ^n-1）／（R-1）
という式に変換する。

これでも、だめでしょうか。

等比数列というものです。数IIで習うはずです。

お礼

何度も回答ありがとうございます。

補足にも回答いただけないでしょうか

補足

回答ありがとうございます。
おかげさまで、ほとんどわかったのですが、a(1+r)+a(1+r)^2+a(1+r)^3+••••••••+a(1+r)^(n-1)+a(1+r)^n
をAとおくとき、A•(1+r)-A=A^(n+1)-A•(1+r)となる理由とそこからの計算方法を教えていただけないでしょうか?

回答よろしくお願いします

回答No.2

kkanrei

No.1です。
(1+r)＝Rとすると

1期の終わの元利合計からｎ期の終わりの元利合計を総合計したものをＡとすると、

Ａ＝Ａ・Ｒ＋Ａ・Ｒ＾2＋Ａ・Ｒ＾3＋・・・・・・＋Ａ・Ｒ＾(ｎ-1)＋Ａ・Ｒ＾ｎ

上記ＡにＲを乗じたものをＡ・Ｒとすると

ＡＲ＝　　Ａ・Ｒ＾2＋Ａ・Ｒ＾3＋・・・・・・・＋Ａ・Ｒ＾ｎ＋Ａ・Ｒ^(ｎ+1)

Ａ・Ｒ－Ａを計算すると
Ａ・Ｒ－Ａ＝Ａ＾(n+1)－Ａ・Ｒ
真ん中の部分が全て消え去るというところがみそです。

左辺＝Ａ（Ｒ-1)
右辺＝Ａ・Ｒ［Ａ^n－1］

したがって、Ａ＝Ａ・Ｒ［Ｒ^n－1］／(Ｒ－1）

Ｒ＝1+ｒなので

Ａ＝Ａ・(1+ｒ)[(1+r)＾ｎ－1]／ｒ

となります。

お礼

何度も回答ありがとうございます。

補足にも回答いただけないでしょうか

補足

回答ありがとうございます。
計算方法はわかったのですが、どうしてこのようにするのかわかりません。
理解力がなくて申し訳ないです。
よろしければ回答お願いします。

回答No.1

kkanrei

（1）1期の終わりの元利合計がａ(1+r)である。
　　2期の終わりの元利合計がａ（1+ｒ）^2である。
　　3期の終わりの元利合計はａ(1+ｒ）＾3である。
　　よって、
　　ｎ期の終わりの元利合計はａ(1+ｒ)^nである。
（2）毎期初めにａ円を預けるので、（1）で求めたものがｎ期までたまり
　　　ａ(1+ｒ)+a(1+ｒ)^2＋a(1+r)^3+・・・・・・+ａ(1+r)^(n-1)＋ａ(1+r)^nである。
　　　上式をＡとおいて、Ａを1+ｒ倍すると、
　　　（1+ｒ)Ａ＝ａ(1+r)^2+ａ(1+r)＾3＋ａ（1+r)＾4+・・・・・・・+a(1+r)^n+a(1+r)^(n+1)
　　　差を計算すると
　　　(1+r)Ａ－Ａ＝a(1+r)^(n+1)－a(1+r)＝a(1+r)[(1+r)^n-1]
　　左辺＝ｒＡ
　　よって、Ａ＝ａ(1+r)[(1+r)^n－1]／r
(3)　(2)の式にｒ＝0.02
　　　　　　　　n=5年
　　　　　　　　a＝10万円を代入して
　　　　Ａ＝10×(1+0.02)×[(1+0.02)^5-1]／0.02
　　　　　＝10×1.02×[1.104081－1]／0.02
　　　　　＝10×1.02×0.104081／0.02
　　　　　＝53.0813万円＝530,813円

お礼

何度も回答ありがとうございます。

補足にも回答いただけないでしょうか

補足

回答ありがとうございます。
(2)の差を計算するところがわかりません。
よろしければ回答お願いします。