数学の問題

質問

limをx→∞としたときf(x)－xが極限－∞にいきつくf(x)はどのようなものがあるでしょうか？
またlog(x＋1)－xをlimでx→∞としたとき∞－∞となりますがこれは極限がないという解釈をしてよろしいのでしょうか？
回答のほどよろしくお願いします。

回答No.1

akinomyoga

>limをx→∞としたときf(x)－xが極限－∞にいきつくf(x)はどのようなものがあるでしょうか？

一例を挙げるだけでよいのならば
　　f(x) = 0,
全ての f(x) を挙げるのは、f(x)の関数形に制限がない限り、問題として一般的すぎるので難しいです。敢えて答えるならば、
　　f(x) = x - g(x) where g(x) は g(x)→∞ (x→∞) なる任意関数。

>またlog(x＋1)－xをlimでx→∞としたとき∞－∞となりますがこれは極限がないという解釈をしてよろしいのでしょうか？

よくありません。

一般に f(x)→∞, g(x)→∞ の時、h(x)=f(x)-g(x) は不定形といって、極限がある(何処かに収束する)かもしれないし極限がない(発散or振動)かもしれません。("→∞" と一言に言っても発散する「はやさ」があり、f(x) の方が g(x) よりはやく発散すればh(x)→∞になり、g(x)の方がはやく発散すれば h(x)→-∞になり、同じ速さならば h(x) は何処かに収束するか振動するかします。)

何れにしても、h(x)=f(x)-g(x) の振る舞いについては f(x)→∞, g(x)→∞ の情報だけからでは(それぞれが発散するはやさが分からないので)何も言えないという事です。h(x)について何か言いたければ、h(x) の式自体を見て考えなければなりません。

今回は
　　h(x) = log(x+1)-x = log((x+1)/exp x).
ここで(x+1)/exp x → 0 (x→∞)より、
　　log((x+1)/exp x) → -∞ (x→∞)
です。