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数学の問題です。合ってるかの確認です。
lim(x→0)log(1-x)/x {log(1-x)}/x = log{(1-x)^(1/x)} より lim[x→0] (1-x)^(1/x) x = -t とおくと lim[t→0] (1+t)}^(-1/t) = lim[t→0] {(1+t)^(1/t)}⁻¹ = e⁻¹ なので lim[x→0] log{(1-x)^(1/x)} = loge⁻¹ = -1 となりました。宜しくお願いします。
- shidoukai_chi
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それでいいんじゃないの。
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lim(x→0)log(1-x)/x の極限の求め方？ {log(1-x)}/x = log{(1-x)^(1/x)} より lim[x→0] (1-x)^(1/x) x = -t とおくと lim[t→0] (1+t)}^(-1/t) = lim[t→0] {(1+t)^(1/t)}⁻¹ = e⁻¹ なので lim[x→0] log{(1-x)^(1/x)} = loge⁻¹ = -1 あってますか？
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とある問題を解いている途中で、次のような極限に直面しました。 lim[x→+0]{(1/x-1)log(1-x)+(1/x+1)log(1+x)} 私の解答としては、 t=1/xとおく。x→+0のとき、t→∞である。 lim[x→+0]{(1/x-1)log(1-x)+(1/x+1)log(1+x)} =lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)} 「ここで、e=lim[t→∞](1+1/t)^tを用いて、 =lim[t→∞]{(t-1)log(1-1/t)+(1+t)log(1+1/t)} =log(1/e)+loge =-1+1 =0 」 としたのですが、合っているでしょうか？特に括弧の部分は不安です。 つまり、 lim[t→∞](1+1/t)^(t+1)や lim[t→∞](1+1/t)^(t-1) もeに収束するのでしょうか？±1の誤差が気になります。でもt→∞だからこれは無視できるのでしょうか…。 あと、括弧内の2行目から3行目へは、何の断りもなく=で結んでもいいでしょうか？e^xの連続性とか述べた方が無難ですか？どなたか教えてください。
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