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誕生日のパラドクスの実際
「１クラスの中に同じ誕生日の人２人がいる確率は意外と多い」という問題は有名ですが、 実際は生まれた日にちに偏りがあるので、さらに確率が上がると思います。 実際の誕生日のバラツキ具合を含めたモデルをどなたかご教授ください。 誕生日のパラドックス http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 月別にみた出生 http://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/jinkou/tokusyu/syussyo-4/syussyo1-2.html
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クラスの構成員としてあり得る人たちの集まりUの中から、ランダムに集めたN人で構成された、そういうクラスを考える。Uの構成員のうちの誰かの誕生日である日に個々に番号k(k=1,2,…,K)を付けて、k番の日が誕生日であるUの構成員の人数をu[k]とすると、Uの中からランダムに選んだ一人の誕生日がその日である確率 b[k]は b[k] = u[k]/|U| であり、ここに|U|はUの構成員の数です。b[k](k=1,2,…,K)が分かっているということを前提として、誕生日が同じであるペアがいない確率を計算することを考えると、もちろん、厳密な計算はとんでもなく大変である。なので、b[k]の統計的な特徴を表すナニカの情報だけを使って概算を行いたい、というのが「モデルを」と仰るご質問の意図かと思います。 たとえば「あるj∈{1,2,…,K}について、b[j]はb[1]～b[K]の平均mよりもcだけ大きく、他の日(k≠j)の確率b[k]は全部同じ(m-c[j]/(K-1))である、という場合に、誕生日が同じであるペアがいない確率p(c)」のcによる微分∂p/∂cを計算する。k∈{1,2,…,K}のそれぞれについてb[k]がmよりc[k]だけ大きい場合に誕生日が同じであるペアがいない確率Pは、|c[k]|がどれもうんと小さい時に線形近似で P ≒ p(0) + (∂p/∂c) Σ{k∈{1,2,…,K}}c[k] = p(0) となる。これじゃ駄目ですね。つまり、cの二次以上の影響を見る必要がある。 しかし、c[j]c[k](j≠k)を考えると大変そう。なので、(c[k]^2)の影響、すなわち pのcによる二階微分 (∂/∂c)(∂p/∂c)だけを考慮して P ≒ p(0) + (∂/∂c)(∂p/∂c)Σ{k∈{1,2,…,K}}(c[k]^2) とやるのはどうでしょうか。|c[k]|がどれもうんと小さいのであれば、近似としてソコソコ成立しそうに思われます。（使い物になるかどうか判断するには、誤差を詳しく評価してみなくちゃならん訳ですが。）すると、b[k]の分布を適当に仮定することによって、Pを（いちいちc[k]が幾らなのかを考慮せずに）簡単に概算することもできるかも。
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お礼
回答ありがとうございます。 誕生日のばらつきを考えない場合は、議論で美しい結果が得られて感動したのですが、 実際のばらつきを含めると難しそうですね。 自分には統計や誤差論の勉強が足りないと感じました。 参考：実際の日本人の誕生日の順位は以下のようです。 http://sharetube.jp/assets/img/article/2014/facebook_ogp/545.jpg