微分方程式 数学の基礎について

質問

y'=dy/dx とします。

「y=x^rが

　xy''+(x+4)y'+3y=0 -(1)　の解であるようなｒの値を求めよ。」という問題なのですが、

y=x^rを(1)式に代入すると

x^r－1(r+3)(r+x)=0となり

求めるｒは　r=-3,-x　となると思うのですが、
回答にはr＝－3としか書かれていません。なぜr＝－xは解とならないのですか？

すごい基礎的な事かもしれませんが、どなたか教えてくださると助かります。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>y=x^rを(1)式に代入すると

y'=r*x^(r-1),y"=r(r-1)*x^(r-2)

として計算したのでしょう。

この式はrが定数の場合に限り成り立ちます。rがxの関数であるとするとこの式は成り立たないのです。前提条件と合致しないためr=-xとはならないのです。

お礼

回答ありがとうございます。
ｒがｘの変数では微分した値が変わってしまいまう事に気づいていませんでした。

回答No.2

Knotopolog

質問者さんの計算：
＞x^r－1(r+3)(r+x)=0となり
が間違いのようです．

以下は，私の計算です．

質問には書いてありませんが，常識的に，r を定数をします．

y=x^r を　xy''+(x+4)y'+3y=0 に代入すると，

y'=rx^(r-1),　　　y''=r(r-1)x^(r-2)　　より，

xr(r-1)x^(r-2)+(x+4)rx^(r-1)+3x^r=0

となります．この式を整理すると，

r(r-1)x^(r-1)+xrx^(r-1)+4rx^(r-1)+3x^r=0
r(r-1)x^(r-1)+rx^r+4rx^(r-1)+3x^r=0
r(r-1)x^(-1)+r+4rx^(-1)+3=0
r(r-1+4)x^(-1)+r+3=0
r(r+3)x^(-1)+r+3=0
(r+3){rx^(-1)+1}=0
この (r+3){rx^(-1)+1}=0 を満たす r は，

r=-3

のみです．

お礼

回答ありがとうございます。