数学 多変数関数の極値 (場合わけ )

質問

f(x,y)＝x^2＋axy^2＋3bxy
の極大値と極小値を求めなさい！

これが解けるような数学の得意な人いたら至急よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(x,y)＝x^2＋axy^2＋3bxy
fx(x,y)=2x+ay^2+3by
fy(x,y)=2axy+3by
停留点
fx(x,y)=fy(x,y)=0より
　(x,y)=(0,0),(0,-3b/a),((9/8)b^2/a,-(3/2)b/a)

fxx(x,y)=2,fxy(x,y)=2ay+3b, fyy(x,y)=2ax
|H(x,y)|=fxy(x,y)^2-fxx(x,y)fyy(x,y)=4ax-(2ay+3b)^2

停留点(0,0)では
　fxx(0,0)=2>0,|H(0,0)|=-9b^2≦0
　極値ではない。
停留点(0,-3b/a)では
　fxx(0,-3b/a)=2>0,|H(0,-3b/a))|=-9b^2≦0
　極値ではない。
停留点((9/8)b^2/a,-(3/2)b/a)では
　fxx((9/8)b^2/a,-(3/2)b/a)=2>0,|H((9/8)b^2/a,-(3/2)b/a)|=9b^2/a≧0
　a=0のとき極値ではない。
　a≠0,b=0のとき極値ではない。
　a≠0,b≠0のとき 9b^2/a>0, 極小値f((9/8)b^2/a,-(3/2)b/a)=-(81/64)b^4/a^2

以上まとめると
　極大値なし。
　ab=0のとき極小値なし。
　ab≠0のとき極小値f((9/8)b^2/a,-(3/2)b/a)=-(81/64)b^4/a^2

お礼

丁寧に回答していただきありがとうございます。