P進数でのlog(-1)

質問

P進数での対数関数は
log(x) = Σ[k=1,∞]-(1-x)^k/k
と定義されています。
Q_2 において -1∈pZp+1 ですから、収束するのは分かります。
でも、その先の、無限級数の和の求め方が分かりません。
実際に計算すると 0 になりそうなんですが、正しいですか？

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

こんにちは。

2 log(-1)
= log((-1)^2)
= log(1)
= 0
つまり log(-1) = 0 で正しいです。

一般に、同じ理由から log(1の冪根) = 0 です。

お礼

また回答して頂き、ありがとうございます。
計算は出来ても、結果には自信がないので助かりました。

１の冪根は、
Q_2 では 1 と -1
Q_3 では 1 と -1
Q_5 では 1 と -1 の他に２つ
Q_7 では 1 と -1 の他に４つ
あると思いますが、対数はすべて等しくなるんですね。