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P進数でのlog 2

Qp での exp, log という関数について、 exp(x) = Σ[k=0,∞]x^k/k! log(x) = -Σ[k=1,∞](1-x)^k/k だということは分かったのですが、 この級数の収束範囲外の値が分かりません。 exp(-x) = 1/exp(x) log(1/x) = -log(x) は使えますか? できれば、より一般的な方法を教えてください。 Q_2, Q_3 などでの log 2 の値を求めるのが目的です。

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回答No.1

おはようございます。 まず、p進の世界ではexpはQp全体では定義されません。pZp上の関数です。 一方でlogはQp全体で定義されます。 この辺は実、複素の世界と大きく違います。 例えば複素数の世界ではexpは全ての複素数に対して定義されるのに、logの方は局所的にしか定義されません。 さて、expは級数の定義される範囲でしか定義できないので、logがどのようにQp全体で定義されるかを説明します。 まず、一般のQpの元xに対してx=p^m×x' (m=ordp(x)∈Z, x'∈(Zp)*)と書いておけば、 log(x)=log(p^m×x')=m×log(p)+log(x')=log(x') (ここでlog(p)の取り方の任意性が有りますが、通常log(p)=0と考えます。) また、x'∈(Zp)*のときx'^(p-1)∈1+pZpであること(Fermatの小定理) より x'^(p-1)=1+p×x'' とおけば、 log(x') =1/(p-1)×log(x'^(p-1)) =1/(p-1)×log(1+p×x'') =-1/(p-1)×Σ[n=1..∞](-p×x'')^n/n 最後の式はp進位相において絶対収束するので、こうしてQp全体でlog(x)が定義できるというわけです。

fusem23
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 分かりやすい説明でした。 ただ一点だけ、 > logはQp全体で定義されます。 とあったので、log 0 は何になりますか?

その他の回答 (1)

回答No.2

補足です。log(2)の計算例をp=3,5,7辺りで書いておきます。 Q_2では log2=0 Q_3では、 log2 =1/2 log(4) =1/2 log(1+3) =1/2 (3/1 -3^2/2 +3^3/3 -3^4/4 +・・・) =2・3^1 +2・3^2 +3^5 +3^6 +2・3^8 +3^9 +・・・ Q_5では、 log2 =1/4 log(16) =1/4 log(1+15) =1/4 (15/1 -15^2/2 +15^3/3 -15^4/4 +・・・) =2・5^1 +3・5^2 +2・5^3 +4・5^4 +2・5^6 +・・・ Q_7では、 log2 =1/6 log(64) =1/6 log(1+63) =1/6 (63/1 -63^2/2 +63^3/3 -63^4/4 +・・・) =5・7^1 +5・7^2 +2・7^3 +4・7^4 +6・7^5 +5・7^7 + 7^8 +・・・ など。参考にどうぞ。

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