無限級数の一様収束

質問

無限級数の一様収束を考えています。

α>0を定数とする。ここで、
Σ[k=1→∞]exp(-kx)/(k+1)
はx∈[α,∞)で一様収束することを示せ。

以上です。よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

命令調で書きます。

Cauchyの判定条件をつかう。
関数列{fn(x)}がI 上一様収束 ⇔ 任意の正数εに対し、ある非負整数Nがあって、任意の非負整数m, nに対し、m, n>Nなら、任意のx∈Iに対し |fm(x) - fn(x)| < ε
（一応簡単に補足すると、⇒は極限関数をfとすると、|fm(x) - fn(x)| ≦ |fm(x) - f(x)| + |f(x) - fn(x)| から成り立つ。←は任意のx_0 ∈xに対し{fn(x_0)}はCauchy列だから収束するので{fn(x)}は各点収束する。その極限関数をfとする。h{m,n}(x) = |fm(x) - fn(x)|とおくと、lim[m→∞] h{m,n}(x) は収束し|f(x) - fn(x)|となる。任意の正数εに対し、ある非整数Nがあって、任意の非負整数m, nに対し、m, n>Nなら、任意のx∈Iに対しh{m,n} (x) < ε/2であるから、m→∞としたとき、n>Nなら任意のx∈Iに対し|f(x) - fn(x)| ≦ ε/2）

さて、今の場合gk(x) = exp(-kx)/(k+1)とおいてfn(x) = Σ[1≦k≦n] gk(x)としたとき、fn(x)がI=[α,∞]で一様収束することを示すことになる。
m≧nとして、|fm(x) - fn(x)|= Σ[n≦k≦m] gk(x) ≦{1/(n+1)} * Σ[n≦k≦m] exp(-kx) ≦ {1/(n+1)} * Σ[n≦k≦m] exp(-kα) と評価して、Cauchyの判定条件を適用せよ。

お礼

いつもありがとうございます。

|fm(x) - fn(x)|≦ {1/(n+1)} * Σ[n≦k≦m] exp(-kα)≦ {(m-n+1)/(n+1)}exp(-nα)
としたら、n→∞の時に0に収束するのでしょうか…
mをnよりも極端に大きく取ると、収束しないような気がしてしまいます。

回答No.2

tmpname

Σ[n≦k≦m] exp(-kα)の部分は、等比級数の和であることに気付いて、真面目に計算してください。

お礼

遅くなってすみません。
ご回答有難うございます。理解することが出来ました。