複素数の範囲での対数の扱い

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2231046
こちらで現在質問をしているのですが、
疑問が出てきたので別途質問させていただきます。

例えばi^iについて解説している所を見ると、
　i^i = exp(i*log(i))　（iは虚数単位）
としている所が多いのですが、そもそも
　log(i^i) = i * log(i)
は一般的に成り立つのでしょうか？

主値を考えたときに成り立つのはともかくとして、
他の範囲で成り立つかどうかが判りません。

log(i)もi^iも多価関数というのは判ります。
まず前者は
　log(i) = log|i| + i * (π/2 + 2kπ) (k∈Z)
　i * log(i) = i * (π/2 + 2kπ) = -(π/2 + 2kπ)
∴exp{i * log(i)} = exp{-(π/2 + 2kπ)}
これから導き出される解は一般に知られているものと等しいようです。
しかし、後者に関しては
　i^i = [r * exp{i(π/2 + 2kπ)}]^i　（？？？）
などとやってもよく判らなくなってしまいます。
要するに「任意の複素数の複素数乗」が判らないというわけで。

具体的な解説をお願いします。

回答No.1

proto

素人なので詳しくは無いのですが、この場合注目すべき変形は
　log(i^i) = i * log(i)
よりも
　z=exp(ln(z))
ではないでしょうか。

実数の範囲では指数関数、対数関数は共に1対1関数であり、互いに逆関数であるので。
x>0について、
　x = exp(ln(x)) = log(ln(x))
は正しそうです。

しかし複素数の範囲では指数関数は周期性を持ち対数関数は多価関数であるので、考え直してみる必要があるでしょう。
まず指数関数、対数関数の定義域の拡張ですが、簡単には
級数展開により指数関数を定義。
複素数に対して対数法則
　log(α*β) = log(α)+log(β)
を認め、指数関数の逆関数として対数関数を定義、とすれば、

　z = exp(ln(z))
は一価関数となり、成り立ちそうです。
　z = ln(exp(z))
は多価関数となり、必ずしも一致とは言えないようです。

このような視点から考え直してみてはどうでしょう。

お礼

z = ln(exp(z))って多価関数になりますかね？

オイラーの公式を使っても虚部はsinθ、θ∈Rという周期関数なので、
結局一価関数にしかならないような気がするのですが。
詳しい説明お願いします。

補足

あ、と思ったら思いっきりlnの中にiが入ってますね。
確かに多価関数でした。