２重対数関数について質問です

質問

複素解析を勉強していると、べき級数の収束のコラムに
２重対数関数(以下、記号:Li_2(x)と記す)についての記述がありました。
Li_2(x)には様々な性質があるようなのですが、以下の式変形がよく分かりません。

まず、Li_2(x)=-∫[0,x](log(1-t)/t)dt (xは実数)

と定義されているのですが、画像に書かれている変形がどのようにして行われたのか
解説宜しくお願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

真ん中の式だけでよければ、単純計算じゃないかな。

x = 0 のとき、両辺が 0 になることが見て取れる。よって、あとは、両辺の x による偏導関数が一致することを確かめればよい。

α = log(1-x)、β = log(1-y)、γ = log(1-x-y) とすれば、左辺及び右辺の各項の偏導関数は、x、y、α、β、γの有理式で表されるので、「左辺の偏導関数=右辺の偏導関数」が単純計算で確かめられる。

ちなみに、左辺の偏導関数は、次のようになる。

(∂/∂x)Li_2((x/(1-x))(y/(1-y)))
= -(∂/∂x)((x/(1-x))(y/(1-y)))・log(1-((x/(1-x))(y/(1-y)))) / ((x/(1-x))(y/(1-y)))
= -(y/(1-y))log(1-x)・log(1-((x/(1-x))(y/(1-y)))) / ((x/(1-x))(y/(1-y)))
= -(y/(1-y))α・(γ-α-β) / ((x/(1-x))(y/(1-y)))

お礼

お返事遅れました！解決しました。単純計算でよろしいのですね。ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

178-tall

参照 URL を丸投げ。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html

お礼

URLまでご親切にありがとうございます。参考にさせていただきます。