実関数のローラン展開

質問

変な質問で申しわけないのですが、実関数のローラン展開は考えられないのでしょうか？
　たとえば、
　　f(x) = 1/(1-x^2)
は|x|<1 では収束するわけですが、複素関数に倣って、特異点 x = 1 の±ε（εは微小な正数）近傍の級数展開を考えるのは無意味なのかということです。
　f(x-ε) は大きな正数、f(x+ε)は大きな負数になってしまうので、級数で近似値を求める観点から考えても、無意味なような気はしますけど。

回答No.2

noname#258756 · ベストアンサー

その例にかんしていえばx=1の周りでローラン展開しても結局、主要部として-1乗の項1/(x-1)が現れるだけであり、それはローラン展開しなくても普通に分解すれば明らかなので、x=1近傍での関数の挙動に関して新しいことがわかる感じはしないですね。こういう有理式で書けないような関数なら、負べきを含むべき級数で表せるのは非自明だ、という点で意味はあると思います（実関数にかぎったことではありませんが）。

回答No.3

noname#258756

追記: 特異点付近で発散するので近似の観点から意味がないと書かれていますが、発散の様子が負べきの関数で捉えられているという意味では近似なのでは。

回答No.1

gamma1854

f(x)=1/(1 - x^2) において、f(x)をx=1の近傍で展開します。
x-1=u とおくと、
f(x) = (1/2){1/(2+u) - 1/u}
であり、|u|<2 のとき、右辺第一項は、
1/(2+u)=(1/2)*{1/1 + (u/2)}
= (1/2)*∑[k=0~∞](-u/2)^k.