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ローラン展開とは？
- ローラン展開は複素関数の展開方法であり、テイラー展開とは異なり負のべき乗が現れることがあります。
- 一方、実数の関数の展開であるテイラー展開には負のべき乗が現れないことが一般的です。
- 実数の関数のテイラー展開にはマイナス１という負のべき乗が付いた項を含む展開もありますが、一般的にはローラン展開とは呼ばれません。
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>実数の関数 １／Ｘ はちゃんとマイナス１という負のべきの付いた項を含む展開でしょう。（項数は１ですが）これをテイラー展開と呼ぶかどうかは分かりませんが。一番簡単なローラン展開ですね。 ローラン展開といった場合には前提条件として 複素関数ということが含まれます． ローラン展開の定理そのものの前提条件です． ですので，1/x を実数の関数としてみた場合 これを「ローラン展開」と言い切ってしまうと 怪訝な顔をされると思います． もちろん，z=0で特異である複素関数 1/z の実数への制限と 考えれば，1/x はローラン展開であるのは間違いないのですが， 用語にはそれが使われる文脈というのがあるのですよ． >係数が実数のローラン展開は全て実数の関数ではありませんか。 もちろん，こういう場合は実数に制限すれば実数の関数です． こういう問題を提起してみます． 原点の近傍で原点以外の点でテイラー展開可能な 実数変数実数値関数 f に対して， 以下の条件を満たす関数 F は存在するか (1)原点の近傍で原点以外で正則 (2)Fの実数への制限はf このようなFが存在するとき， Fのz=0でのローラン展開の係数は複素数ですが， 実数に制限して，更に和をとることで 虚数部がキャンセルされて実数値関数になるかもしれません ローラン展開の係数が全部実数になるケースもあるかもしれません． 本質は実数変数実数値関数が与えられたときに それを拡張している複素変数複素数値関数が存在して それが「期待している性質」（正則性とか）を持ってるかでしょう． 実数関数だけに制限した場合， こういうことはあんまり考えないというか， 例えば，ルベーク積分なんかでは 「まずい点が十分に少ない」ときは 無視してますよね．
お礼
私の中途半端な投稿に反応してくださいまして、有り難うございます。 今後ともよろしくお願いいたします。
補足
はいおっしゃるとおりです。 ローランとか、テイラーとか名前を利用したのがまずかったですね。 言いたかったことは単に、実関数にもマイナス冪が含まれる級数展開もありますと言うことで、数学的に深い意味はなかったのです。 「まずい点が十分に少ない」時と言う話を挙げられましたが、数学屋が使う独特の言い回し／考え方で、私の好きな表現です。 お礼の欄に書いてもよかったのですが、一応補足として投稿いたします。