• ベストアンサー

一様収束と広義一様収束

複素関数の冪級数展開おいて、広義一様収束と一様収束の概念があって、なぜこの使い分けをするかというと、R（a）をaにおけるべき級数展開の収束半径としたとき、特異点の近傍を含んでしまうと、前者は成り立つが後者が成り立たない場合があるから(例：1/1+ｚ、R(0)=1)だと思います。 ここからが質問なのですが、R(a)＝∞のときに、広義一様収束するが一様収束はしない例があるのでしょうか？

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

複素数全体は、開集合であり、かつ閉集合でもあります。 したがって、R(a)＝∞であれば、一様収束と広義一様収束は同値です。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 広義一様収束の定義がいまいちわかりません

    広義一様収束の定義がいまいちわかりません。 『ρはいくらrに近くとってもよいが定数である』と記載されているのですが ρをいくらでもrに近くとっていいなら一様収束半径と広義一様収束半径は一致するのではと思うのですが、、、 どのように解釈すればいいのでしょうか? どなたか分かり易くご解説ください。

  • 冪級数の収束半径

    係数が有界な冪級数は、収束半径が１以上であることを証明せよ。 この証明をお願いします。

  • 実関数のローラン展開

    　変な質問で申しわけないのですが、実関数のローラン展開は考えられないのでしょうか？ 　たとえば、 　　f(x) = 1/(1-x^2) は|x|<1 では収束するわけですが、複素関数に倣って、特異点 x = 1 の±ε（εは微小な正数）近傍の級数展開を考えるのは無意味なのかということです。 　f(x-ε) は大きな正数、f(x+ε)は大きな負数になってしまうので、級数で近似値を求める観点から考えても、無意味なような気はしますけど。

  • 複素関数です。

    複素関数です。 1/((z^2)+z-2)　の特異点とそれぞれの特異点における留数を求めよ。 またこの関数を-2の周りでローラン級数に展開し、その収束域を明らかにせよ よろしくお願いします。

  • 広義積分

    広義積分∫(0→∞)1/x^a dx(a>0)の収束・発散を調べよ 上記の結果を利用して無限級数∑(n=1,∞)1/n^a (a>0)の収束・発散を調べよ よろしくお願い致します。 使った定理など細かく教えていただけると嬉しいです。 それと，なぜ∫(0→∞)1/x^a dx(a>0)が収束・発散すると，∑(n=1,∞)1/n^a (a>0)も収束・発散するのでしょうか。教えてください。

  • 収束半径

    ベキ級数Σa_n x^nの収束半径は簡単に求まりますが、 1.Σa_n x^(n^2)の収束半径なんてのはどうなのでしょうか？ 2.Σa_n x^f(n)　f(n)は非線形関数　の収束について一般論は可能なのでしょうか？

  • 数学（複素関数）

    以下の問題の解答をお願いします。答えられるものだけでいいのでお願いします。困ってます。 ・マクローリン級数に展開して収束半径Rを求めよ。 (1)sin^2z (2)（z+2)/(1-z^2) (3)1/(z+3i) ・次の与えられた点を中心としてテイラー級数に展開し、収束半径Rを求めよ。 (4)1/z　、2 (5)e^z　、a (6)Lnｚ　、1 (7)sinz　、1/2π

  • 一様収束・絶対収束などの利用法

    解析で、関数列や級数の収束・絶対収束・一様収束について勉強しているのですが、ε-δでの定義や様々な定義を見て、その記述に関しては、「ふむふむ、これを満たしていると○○収束なんだな」と理解できます。 しかし、関数列での○○収束や級数の○○収束など、定義が増えるにつれて、これらの○○収束がわかったとして、一体どういうふうに実際に役に立つんだ？と混乱してしまいます。 例えばですが、「関数列に関して、『極限をとったものの対数』と『対数をとったものの極限』が同じ、ということが○○収束から言える」というような何か具体的な○○収束の利用の仕方がわかれば、直感的に理解しやすくていいなぁと思うのです。もちろん、例を挙げるにとどまるには勿体無いほどの威力をもった概念なのだと思うのですが、理解の最初のステップとして、どなたか何かの例を教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いします。

  • 極限の問題（収束半径、広義積分）です。

    解いていて、つまずいている問題があります。どうか分かる方お力添え下さい。 （１）Σ(√(n+1)-√n)x**n の収束半径？ 補足（Σの添え字nは０から∞です） 　　（＊＊は２乗を示しています） 　　（√は（）の中にかかっています） ダランベールの収束判定法から 収束半径r=lim(x→∞)an/an+1にしたがって解こうとしてのですがそこで詰まりました。 （２）Σan*(x**n)とΣn*an*x**(n-1)の収束半径が同じであることを示せ。 補足（Σの添え字nは０から∞です） 　　（＊＊は２乗を示しています） 　　（＊はかけ算を示しています）　 　　（anは数列です） ダランベールで解こうと思ったのですがｘの肩のn-1が定理と違うのでこれ以上進みません。 （３）∫sin(1/x)dx（0<x≦1） ∫(x(x-1))**(-1/3)dx(2≦x<∞) ∫1/xdx(-1≦x≦1) は収束、発散？ 広義積分なので∫の中の関数より大きい関数で押さえれば収束が示せると思ったのですが適当な関数が見つかりません。

  • 収束半径の求め方

    y=a0Σn=0～∞（x^n/n!） 上記級数の収束半径を求めよという問題なのですが、 答えが、 r=lim n→∞｜an/an+1｜=lim n→∞（n＋1）=∞ になることはわかっているのですが、 どのような考え方でこのようになるのかわかりません。 教えていただけましたら幸いです。 宜しくお願いいたします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する