広義一様収束の定義がいまいちわかりません

質問

広義一様収束の定義がいまいちわかりません。
『ρはいくらrに近くとってもよいが定数である』と記載されているのですが
ρをいくらでもrに近くとっていいなら一様収束半径と広義一様収束半径は一致するのではと思うのですが、、、
どのように解釈すればいいのでしょうか?

どなたか分かり易くご解説ください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

広義一様収束ってのは
「任意の部分閉区間」（任意のコンパクト部分集合）での
一様収束です．

「Iで一様収束」
広義一様収束「Iの任意の部分閉区間で一様収束」というのは
違う概念であって，任意の部分閉区間で一様収束しても
I全体で一様収束とは限りません．

シンプルな例としては・・・
e^xのマクロリン展開は
実数R上では一様収束しないけど
広義一様収束です．
＃e^xのテイラー展開の剰余項に「x^n」があるから，そして
＃広義一様であるのは，有界閉区間に限ればこの「x^n」が有界になるから
＃証明できます．

お礼

> 広義一様収束ってのは
> 「任意の部分閉区間」（任意のコンパクト部分集合）での
> 一様収束です．

『(X,T)と(Y,S)を位相空間とし,f∈Map(N,Map(X,Y))とする時,
X⊃∀Aはコンパクト部分集合に対して
{f_n}はAで一様収束する
⇔(def)
{f_n}はX全体で広義一様収束する』

という定義で正しいのですね?

回答No.3

hugen

|x|<r　で一様収束しない例があるので
ρをいくらでもrに近くとっていいといっても、
ρ=r　　　とはできない。

お礼

どうも有難うございました。とても参考になりました。

回答No.2

rinkun

詳しい説明はANo.1にあるので簡単にいうと、一様収束の程度がρの値によって変わるのです。
もう少し具体化するとε-δ論法で証明するときのδの値がεだけでなくρに依存します。
だからρを固定してしまえば一様ですが、固定しないと全体としては一様でないのです。

お礼

どうも有難うございました。とても参考になりました。