締切済み 冪級数の収束半径 2015/07/23 18:28 係数が有界な冪級数は、収束半径が１以上であることを証明せよ。 この証明をお願いします。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 みんなの回答 tmpname ベストアンサー率67% (195/287) 2015/07/24 07:02 回答No.1 Cauchy–Hadamardの定理を使えば明らかですが... 分からないところを書いてください。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（0） カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A べき級数の収束半径 べき級数の収束半径 べき級数Σ{((-1)^n/(2n+1)!)*z^(2n+1)} (n=0→∞) の収束半径を求める問題なのですが… このべき級数がsinzに等しいことはわかるのですが、収束半径の求め方はわかりません。 できればCauthy-Hadamardの定理を用いて解きたいと思うのですが… 回答よろしくお願いします。 べき級数の収束半径についての証明 べき級数の収束半径についての証明 べき級数Σc_nz^n,Σd_nz^nの収束半径をR,R'とするとき、|c_nZ^n|≦|d_nz^n|(∀n)が成り立つとき、R≦R',R'≦Rのどちらが成り立つか答え、それを証明せよ。 という問題なのですが… 以下のように証明したのですが、いかがでしょうか?? ＜証明＞ |c_nz^n|≦|d_nz^n| が成り立つとき、比較定理より、 「Σd_nz^nが収束する⇒Σc_nz^nも収束する」 ことが言える。よって、 R'≦R // いかがでしょうか?? 回答よろしくお願いします。 級数の収束について 級数の収束について、 全てのnに対してan≧0であり、部分和Sn=Σ[k=1, n]ak が上に有界ならば級数Σ[n=1, ∞]an は収束する。 という定理がありますが、上に有界とはどういうことですか？ 級数の収束半径 次の級数の収束半径がわかりません！！ Σ(n/(n+1))^(n^2) z^n コーシーアダマールの定理を使うんでしょうか？？ limsupの式はわかるのですが計算方法が・・・。。 よろしくお願いします。 べき級数の収束半径 べき級数の収束半径を求めよ。 1,Σn=1 ∞ ((-1)^n)*n*2^n*z^n 2,Σn=1 ∞ n^3*z^n 3,Σn=0 ∞ ((2n+1)/n!)*z^n 4,Σn=0 ∞ ((-1)^n)*n!*z^n 以上の問題がわかりません。教えてください。 あまりわかっていないので丁寧にお願いします。 ベキ級数の収束半径 今勉強している複素解析学の初歩のところで、ベキ級数の収束半径を求める問題についてお力をお借りしたいです。 テキストにあった問題「Σ(n!)z^nの収束半径は？（Σはn=0から∞まで）」でコーシー・アダマールの公式を使おうと思います。 n!のn乗根をここではn√nと書くことにして n√n! = n√n・n√(n-1)・…・n√2・n√1 とn個の積だと考えて それぞれはn→∞の極限で１に行くので、n√n!もn→∞の極限で１になると思い、公式から収束半径ρは１だと考えました。 ら、解答には収束半径は０とありました。そして「なぜならz≠0ならばn!|z^n|→∞が成り立つ」とあるのですが、納得できません。 自分の考え方は何が間違っているのでしょうか？よろしくお願いいたします。 収束半径 ベキ級数Σa_n x^nの収束半径は簡単に求まりますが、 1.Σa_n x^(n^2)の収束半径なんてのはどうなのでしょうか？ 2.Σa_n x^f(n) f(n)は非線形関数 の収束について一般論は可能なのでしょうか？ 解析の問題です。収束 発散 級数 １、正項級数Anが収束するなら、正項級数An^2も収束することを示せ。 ２、級数Anは収束するが、級数An^2は発散するような例を作れ。 ３、級数Anが収束し、数列｛Bn｝が有界で単調増加なら級数AnBnは収束することを示せ。 どなたかお願いします。 一様収束と広義一様収束 複素関数の冪級数展開おいて、広義一様収束と一様収束の概念があって、なぜこの使い分けをするかというと、R（a）をaにおけるべき級数展開の収束半径としたとき、特異点の近傍を含んでしまうと、前者は成り立つが後者が成り立たない場合があるから(例：1/1+ｚ、R(0)=1)だと思います。 ここからが質問なのですが、R(a)＝∞のときに、広義一様収束するが一様収束はしない例があるのでしょうか？ 整級数の収束域 問題 Σ(1/Ｎ3^Ｎ＋1)Ｘ^Ｎ(Ｎ=1～∞）の収束域を求めよ 整級数の収束域を判定する問題で、収束半径で収束するかどうかしらべるときΣ１/３ｎ（ｎ＝１～∞）がどうして発散するのかがわかりません。どうか教えてください。 級数の収束について 次の級数が収束することの証明が分かりません。 1+Σ(n=1,∞){(-1)^n*a(a-1)...(a-n+1)/n!} aは実数で a>0 とする 第n項をA_nとするとA_n+1/A_nの極限値は1となります。 また、A_nは0に収束しますが、交代級数でもありません。 収束半径 次のべき級数の収束半径を求めてください。 (1)Σ(n=1→∞）(√n+1-√n)x^n (2)Σ(n=1→∞）(n！)x^n (3)Σ(n=1→∞）x^n/(n+1)^n+1 過程も含め教えてください。 有界数列の収束半径 問題 {ａn}が有界数列ならば、Σ(0,∞)ａn z^nの収束半径Ｒ≧１を示せ が分かりません。 よろしくお願いします。 べき級数の収束 sin(nπ/2) / n! z^n が第n項であるようなべき級数の収束半径を求めよ。 n 項と n+1 項の比をとるやり方でやっても、 sin が邪魔でうまく回答できません。どなたかご助言ください。 収束半径の求め方 y=a0Σn=0～∞（x^n/n!） 上記級数の収束半径を求めよという問題なのですが、 答えが、 r=lim n→∞｜an/an+1｜=lim n→∞（n＋1）=∞ になることはわかっているのですが、 どのような考え方でこのようになるのかわかりません。 教えていただけましたら幸いです。 宜しくお願いいたします。 級数の収束・発散について 次の問題について教えていただきたいです。 正の実数列{a_n}について Σa_n=∞ 成り立つとき (1) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n) の収束・発散を判定せよ。 (2) 級数 Σa_n/(a_1+a_2+…+a_n)^2 の収束・発散を判定せよ。 以上です。級数は3つともすべてn=1~∞の和です。 (1),(2)ともに分数の分母は和,和の二乗です。 (1)は発散・(2)は収束と結果は予想が容易につくのですが証明がさっぱりです。 よろしくお願いします。 級数の収束 Σ1/n^k(n=1から無限)において、k=1のときは発散、k=2のときはπ^2/6に収束しますが、kが1から2の間のどこでこの級数は収束するのでしょうか？ あと、この級数のグラフを描いて、見た目で収束するkを見つけることはできますか？ 収束半径に関する質問です。 微積の本に次のような記述がありました。 ∞ Σa[n]x^nの収束半径をrとする。 n=1 Ｌ=lim|a[n+1]/a[n]|が存在すればr=1/L (証)x≠0に対し|a[n+1]x^(n+1)|/|a[n]x^n|→L|x|だから ダランベールの収束判定法(ratio test)より L|x|＞1ならばΣa[n]x^nは発散 L|x|＜1ならばΣa[n]x^nは収束 よって、r=1/Lだとわかる・・。 これに関して、収束のほうは L|x|＜1ならばΣ|a[n]x^n|は収束 よってΣa[n]x^nは収束だから、納得できますが。 なぜいきなりL|x|＞1ならばΣa[n]x^nは発散するのでしょうか？ この本のratio testは、"正項級数"に関しての定理でした。 なので、 ratio testを適用すれば L|x|＞1ならばΣ|a[n]x^n|は発散 としか言えないと思いました・・・(※) そこで、ratio testについていろいろ調べていたところ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1221819332 ↑コチラに、ratio testの証明に関する記述がしてあるのを見つけました。 ですが、ここで書かれている証明には、私が持っている本に書いてある正項級数に関するものではなく、一般の級数に関してのもののように思います。そして証明も自分で読んでみて正しいように思いました。 [質問1] ratio testが正項級数に関して成り立つということしか知らなければ、 (※)の主張は正しいと思うのですがどうでしょうか？ それとも、(※)からΣa[n]x^nの発散が導けるのでしょうか？ [質問2] 上記のURLにある証明は正しいのでしょうか？ (つまりratio testは正項級数に限らず成り立つのでしょうか？) フーリエ級数の収束性 こんにちは。 フーリエ級数を眺めていてふと思ったのですが、基本周波数の自然数倍の周波数をもつ三角関数のみで全ての周期関数に収束するのはなぜですか。自然数倍でないもの、例えば1.5倍などの周波数はなぜ使う必要がないのでしょうか。 フーリエ級数展開は、直交関数列の各関数に対応する係数を取り出しているだけですよね？関数列に取りこぼしがあれば収束できないものも出てくるのではないでしょうか。 べき級数の収束半径の求め方 1,(k=0→∞)Σ{(k^2-1)/k!}z^k2 2,(k=0→∞)Σ{3i^k/(1+i)^2k}(z-c)^k 上のふたつですが収束半径がでません。 アドバイスや解答のほうおねがいします
