• 締切済み

対数関数の主値

複素数平面から|x|>=1(xは実数)の部分を取り除いてできる領域をGとすると、z∈G に対してA(z)=∫[0,1]z/(1-z^2*t^2)dtと定義する A(z)=1/2*ln((1+z)/(1-z))を示せ・・・(1) (1)なんですが、この場合の対数関数は何故、主値とることになるんでしょうか？ よろしくお願いします。

みんなの回答

  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.1

A(z)の特異点がz=±1で、Ｇは区間(-∞,-1],[1,∞)を取り除いていますから、枝は１つしかとれません。分かりやすく言えば、特異点の周りを一周することができません。したがって、必然的に、この場合の対数関数は、主値をとらざるを得ないのです。

mouse1e3
質問者

お礼

補足とお礼を間違えました。 すいません。

mouse1e3
質問者

補足

リーマン面で考えると、対数関数の場合、ｚ平面の 分枝点の周りの一周目が主値に対応していて、二週目、三週目・・・と一回りするたびにｚに対応する対数関数の値が変化していくので、領域Gでは分枝点のまわりを回ることが許されないから主値をとるという事でしょうか？

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 複素積分について

    複素数平面で{x∈R||x|>=1}を取り除いてできる領域をGとすると、z∈Gで A(z)=∫[0,1]z/(1-z^2*t^2)dt (z:複素数） は1/2*Ln((z+1)/(1-z))を示せ(主値）・・・(1) この問題でtが実数か複素数かわからないんですが、 (積分範囲が0→1なので）実数と考えると ∫1/(x^2-a^2)dx=1/(2a)*log|(x-a)/(x+a)| より、実数のlogの中に複素変数が入ってきてしまいよくわからなくなります。(疑問点１) とりあえずlogは複素数を真数に持つので、複素数の対数関数になるとして話を進めると A(z)=1/2*Ln{|(z+1)|/|(z-1)|}+1/2log(1)となると思うんですが、右辺第一項は(1)と微妙に答えが合いません。(疑問点２） また、右辺の第二項はlogを実関数のものと考えた場合はlog1=0,複素数のものと考えても主値をとるので Ln1=0となるんですが、この場合はどちらのものとなるんでしょうか？(疑問点３) ごちゃごちゃして何が言いたい事がわかりにくいとは 思いますが、どなたかよろしくお願いします。

  • 対数関数について

    対数関数について 実数の範囲での対数関数の定義を利用して複素数の範囲で対数関数を定義してください

  • ２重対数関数について質問です

    複素解析を勉強していると、べき級数の収束のコラムに ２重対数関数(以下、記号:Li_2(x)と記す)についての記述がありました。 Li_2(x)には様々な性質があるようなのですが、以下の式変形がよく分かりません。 まず、Li_2(x)=-∫[0,x](log(1-t)/t)dt (xは実数) と定義されているのですが、画像に書かれている変形がどのようにして行われたのか 解説宜しくお願いします。

  • 関数論について

    こんばんは。関数論の問題でわからないものがあるので教えていただけないでしょうか？ １．√ｚを主値とするとき√（ζ＋ζ^-1）^2=ζ＋ζ^-1 を示せ。 ただし、z=x+iy , ζ=α＋iβ(α＞０) 2. (1)対数の主値に対して、関数　ｆ（ｚ）＝-logz+log(1-z)-log(1-1/z)が z∈｛z=x+iy|y>0｝において定義されることを示せ。 (2)f(z)の値を求めよ。 3．a^bの値がすべて実数であるための条件を求めよ。 どなたかよろしくお願いします。

  • 複素数の指数関数にはあらわれないのに、対数関数には主値が必要な理由を教

    複素数の指数関数にはあらわれないのに、対数関数には主値が必要な理由を教えてください！

  • 重み関数の簡略化

    皆さん宜しくお願いいたします。 制御工学などで使用される重み関数と言われるものが有ります。 常用対数をLog、自然対数をLnとすると W(u) = Log( coth(|u|×Ln(10)/2 ) で表わされます。これの∫{u=-∞→∞}W(u)du を求めようとしています。 求める際、 W(u) = Ln( coth((|u|/2 )に簡略化できるらしいのですが、 対数の底の変換を行うと ∫{u=-∞→∞} log( coth(|u|×Ln(10)/2) ) du 　=∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|u|×Ln(10)/2) ) / Ln(10) du となります。ここで|u|×Ln(10) = |t| とおくと u:-∞→∞でt:-∞→∞ dt = |u|×Ln(10) du よりdu = dt / Ln(10) となり ∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|t|/2) ) / ( Ln(10) )^2 du となり、底の変換だけでは、うまくいきません。 coth=( e^x+e^(-x) )/( e^x-e^(-x) )を用いて x=|u|×Ln(10)/2をばらして変換しようとしてもうまくいきません。 どなたか、ご存知の方、いらっしゃいましたらご教示頂きたくお願いいたします。

  • 複素関数に関する質問

    春休みに入ったので、応用数学の演習問題をやっているのですが、 複素関数の分野で分からない問題がいくつかあります。 休み中なので、誰かに聞くことも難しいため解説、解答をよろしくお願いします。 1. 実数を係数とする代数方程式 f(x)＝０ が、実数でない複素数ｚを解に持つならば、 共役複素数ｚ～（ゼットバーのつもり）も解であることを証明せよ。そのとき z = a+ib とすれば、整式 f(x)＝０ は x^2－2ax＋a^2＋b^2 で割り切れることを 証明せよ。（^は階乗） 2. w = 1/z により、次の直線または円はどんな直線または円に変換されるか。 (1) 単位円 |z| = 1 と２点 P、Q で交わる直線 (2) 単位円に１点 P で接する直線 (3) 点 i を中心とし原点を通る円 3. 次の関数は z 平面のそれぞれの領域を w 平面の単位円の内部に 写像することを示せ。 (1) w = （z^2 - a）/（z^2 - a～）、Im a ＞ ０、 　第１象限 ｛z | ０ ＜ arg z ＜ π/2｝ (2) w = （e^z - 1）/（e^z + 1）、帯状領域｛z | －π/2 ＜ Im z ＜ π/2｝ ( ^ は階乗、～はバー)

  • 複素関数z=re^(iθ)の対数関数log(z)=ln(r)+iθのl

    複素関数z=re^(iθ)の対数関数log(z)=ln(r)+iθのlog(z)の底は何でしょうか？ また、上式の主値であるLog(z)の底も教えてください。(同じと思いますが・・・) 複素関数入門という本では「左辺で、底は何も書かない。」と載っていたのですが、何かあるけど省略したという意味ですよね？ 底がない対数なんて聞いたことないですから。 右辺のlnはeが対数だとは一目瞭然で、それは教科書にも載っていました。 ちなみに僕はlogとかかれていたら10を底とするのが基本だと思っています。 ご回答よろしくお願いします！

  • 絶対値　実数　複素数

    絶対値について教えて下さい。 実数における絶対値の定義は、 x≧0ならば、｜x｜=x x<0ならば、｜x｜=-x と定義されます。 実数における絶対値｜x｜が一価関数であり、逆関数は 二価関数であることは理解できます。 複素数における絶対値の定義は、 z=a+ibを考えると、 ｜z｜=√ｚｚ＾-=√a^2+b^2 と定義されます。 ここで、｜z｜は一価関数だと思うのですが、逆関数はどうなのでしょうか？ ｜z｜=√a^2+b^2を満たすa,bは無限に存在するから無限価関数となるのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 対数関数

    対数関数f(x)=log(3)2x,g(x)=log(3)(2x+a)について考える。ただし、a>0とする。 関数y=g(x)のグラフは、y=f(x)のグラフをx軸方向に(アイ)/ウだけ平行移動したものである。 次に、h(x)=log(9)(bx)とする。 G(x)=g(x)-h(x)とするとき、G(1/2)=G(9/2)=0となるのは、 a=エ,b=オカのときである。 この問いの解き方を教えてください。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する