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フーリエ級数の問題です

-π≦x≦πで定義される関数   f(x)=xsin(ax) のフーリエ級数を求めよ 但しaを整数でない実数とする という問題です。 解答、途中式、解説詳しく教えてほしいです。 御回答よろしくお願いします。

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  • info222_
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回答No.1

f(x)は偶関数なので b[n]=0 a[0]=(2/π)∫[0,π] xsin(ax)dx =(2/π)[-xcos(ax)/a+(1/a)∫cos(ax)dx][0,π] =(2/π)[-xcos(ax)/a+(1/a^2)sin(ax)][0,π] =(2/(πa^2)){sin(aπ)-aπcos(aπ)} a[n]=(2/π)∫[0,π] xsin(ax)cos(nx)dx =(1/π)∫[0,π] x{sin((a+n)x)+sin((a-n)x)}dx =(1/π)[-xcos((a+n)x)/(a+n)-xcos((a-n)x) +(1/(a+n))∫cos((a+n)x)dx+(1/(a-n))∫cos(a-n)x)dx][0,π] =(1/π)[-xcos((a+n)x)/(a+n)-xcos((a-n)x) +(1/(a+n)^2)sin((a+n)x)+(1/(a-n)^2)sin((a-n)x))][0,π] =(1/(π(a+n)^2)){sin((a+n)π)-(a+n)πcos((a+n)π)} +(1/(π(a-n)^2)){sin((a-n)π)-(a-n)πcos((a-n)π)} ={((-1)^n)/(π(a+n)^2)}{sin(aπ)-(a+n)πcos(aπ)} +{((-1)^n)/(π(a-n)^2)}{sin(aπ)-(a-n)πcos(aπ)} 後はフーリエ級数の展開公式に代入して f(x)=(1/(πa^2)){sin(aπ)-aπcos(aπ)} +Σ(n=1,∞)[{((-1)^n)/(π(a+n)^2)}{sin(aπ)-(a+n)πcos(aπ)} +{((-1)^n)/(π(a-n)^2)}{sin(aπ)-(a-n)πcos(aπ)}]cos(nx)

cano9012
質問者

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございました。

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