フーリエ級数の問題です

質問

-π≦x≦πで定義される関数　　　f(x)=xsin(ax)
のフーリエ級数を求めよ
但しaを整数でない実数とする
という問題です。
解答、途中式、解説詳しく教えてほしいです。
御回答よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(x)は偶関数なので
b[n]=0
a[0]=(2/π)∫[0,π] xsin(ax)dx
=(2/π)[-xcos(ax)/a+(1/a)∫cos(ax)dx][0,π]
=(2/π)[-xcos(ax)/a+(1/a^2)sin(ax)][0,π]
=(2/(πa^2)){sin(aπ)-aπcos(aπ)}

a[n]=(2/π)∫[0,π] xsin(ax)cos(nx)dx
=(1/π)∫[0,π] x{sin((a+n)x)+sin((a-n)x)}dx
=(1/π)[-xcos((a+n)x)/(a+n)-xcos((a-n)x)
+(1/(a+n))∫cos((a+n)x)dx+(1/(a-n))∫cos(a-n)x)dx][0,π]
=(1/π)[-xcos((a+n)x)/(a+n)-xcos((a-n)x)
+(1/(a+n)^2)sin((a+n)x)+(1/(a-n)^2)sin((a-n)x))][0,π]
=(1/(π(a+n)^2)){sin((a+n)π)-(a+n)πcos((a+n)π)}
+(1/(π(a-n)^2)){sin((a-n)π)-(a-n)πcos((a-n)π)}
={((-1)^n)/(π(a+n)^2)}{sin(aπ)-(a+n)πcos(aπ)}
+{((-1)^n)/(π(a-n)^2)}{sin(aπ)-(a-n)πcos(aπ)}

後はフーリエ級数の展開公式に代入して
f(x)=(1/(πa^2)){sin(aπ)-aπcos(aπ)}
+Σ(n=1,∞)[{((-1)^n)/(π(a+n)^2)}{sin(aπ)-(a+n)πcos(aπ)}
+{((-1)^n)/(π(a-n)^2)}{sin(aπ)-(a-n)πcos(aπ)}]cos(nx)

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございました。