フーリエ級数の問題についてわかりません

質問

f（x）＝x^２（－π≦x≦π）であってf（x＋２π）＝f（x）とする。関数f（x）のフーリエ級数を求めよ。ただしxは実数。
という問題があるのですが”f（x）＝x^２（－π≦x≦π）であってf（x＋２π）＝f（x）とする”の意味がわかりません。
これは”f（x）＝（x＋２π）^２、周期２πでフーリエ級数を求めろ”と言っているのでしょうか？
どなたか解説お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>f（x+2π）＝f（x）とする”の意味がわかりません。
－π≦x≦πの範囲外のxについては
f(x+2π)＝f(x）ということでしょう。

この式はf(x)を-2πだけ平行移動した関数は元の関数と同じ。ということです。
つまり、f(x)＝x^2（-π≦x≦π）を-2πだけ平行移動した関数は
f(x)=(x+2π)^2（-π≦x+2π≦π⇒-3π≦x≦-π)と-3π≦x≦-πの範囲でf(x)が定義されます。
またこの式は x+2πをxと置き換えればxはx-2πと置き換わるから
f(x-2π)＝f(x）
という関係が成り立ちます。
これからf(x)を2π平行移動した関数がf(x)に等しいということから
f(x)=(x-2π)^2（-π≦x-2π≦π⇒π≦x≦3π)とπ≦x≦3πの範囲でf(x)が定義されます。
これを繰り返していけば、f(x)の定義域を拡張出来ていきます。
これからxの全実数範囲で考えると、f(x)が周期2πの関数であることをあらわします。

>”f（x）＝（x＋２π）^２、周期２πでフーリエ級数を求めろ”と言っているのでしょうか？
周期2πの周期関数f(x)(-∞＜x＜∞)のフーリエ級数の係数a0,an,bnは、
区間－π≦x≦πの積分範囲のf(x)=x^2(－π≦x≦π)を使って求めればよいということです。f(x)偶関数なので
a0=(2/π)∫[0,π]　x^2 dx
an=(2/π)∫[0,π]　(x^2)cos(nx) dx
bn=0
で計算すればいいでしょう。
この計算から導いた
f(x)=a0/2+Σan*cos(nx)
におけるxの範囲は
f(x)(-∞＜x＜∞)が周期2πの周期関数なので、全実数の範囲となります。

お礼

とてもわかりやすかったです。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

IveQA

周期2πでf(x)=x^2 (-π≦x≦π)のフーリエ級数を求めろ　ということ。
f(x+2π)=f(x)は単に周期が2πだという意味。
もしx=3πのときの値を求めるとしたらf(3π)=f(π)=π^2になるということ。
（フーリエ級数を求めるときには使わないが。）

お礼

簡潔でわかりやすい回答ありがとうございました。