集合・位相の質問です。

質問

閲覧ありがとうございます。集合・位相の問題で分からないところがあるので、どなたか力をお貸しください。
以下の問13.2で
http://i.imgur.com/zeSf8L1.jpg

解答はこのように書いてありますが、
http://i.imgur.com/kPAKz0R.jpg

シュワルツの不等式をどのように使うのかと、距離関数になることの証明が分からず困っています。
どちらか一つでも構いませんので、理解できる方、どうかよろしくお願いします。

回答No.1

superkeroyon · ベストアンサー

引用された回答のkまでの和での最初の不等式の理由です：
任意の自然数kについて、R^k では
||x-y||<=||x||+||y|| (x,yはR^kの任意の元)が、シュワルツの不等式から導き出せます
（両辺を二乗して、xとyの内積の絶対値が||x||・||y||以下になることを使えばいいです）。

l^2の任意の元x,yに対し
d_∞(x,y)>=0,
d_∞(x,y)=0 if and only if x=y,
d_∞(x,y)＝d_∞(y,x)
はすぐでてきます。
引用された回答のkまでの和でk->∞にすると、
d_∞(x-y,0)<＝d_∞(x,0)＋d_∞(y,0)..........................(A)
がでます。

以下距離の三角不等式の示し方です：
l^2の任意の元x,y,zに対し
d_∞(x,y)=d_∞(x-y,0) (d_∞の定義より)
=d_∞((x-z)-(y-z),0)
<＝d_∞(x-z,0)＋d_∞(y-z,0) (x-z,y-zをそれぞれl^2の元とみて(A)をあてはめる)
=d_∞(x,z)＋d_∞(y,z)
=d_∞(x,z)＋d_∞(z,y)

お礼

大変分かり易かったです。
助かりました。ありがとうございましたー。