数学

質問

r=xi+yj+zkとし、r=|r|とする。スカラー場φはｒのみの関数で調和関数である。φ(r)を求めよ。
ただしｒのみの関数f(r)において∇^2f(r)=(d^2 f(r))/(dr^2 )+ 2/r (df(r))/( dr)を利用せよ

調和関数であることを利用して∇^2f(r)=(d^2 f(r))/(dr^2 )+ 2/r (df(r))/( dr)=0と置くのかなと思ったのですが計算がわかりません。

回答No.1

transcendental

ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＝Φ（ｒ）、ｒ＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）とすると、
∂ｆ／∂ｘ＝Φ’（ｒ）・∂ｒ／∂ｘ＝Φ’（ｒ）・ｘ／ｒ、
∂＾２ｆ／∂ｘ＾２＝Φ”（ｒ）・（ｘ／ｒ）＾２＋Φ’（ｒ）・｛ｒ－ｘ・（∂ｒ／∂ｘ）｝／ｒ＾２
＝Φ”（ｒ）・（ｘ／ｒ）＾２＋Φ’（ｒ）・｛ｒ＾２－ｘ＾２｝／ｒ＾３、

同様にして、
∂＾２ｆ／∂ｙ＾２＝Φ”（ｒ）・（ｙ／ｒ）＾２＋Φ’（ｒ）・｛ｒ＾２－ｙ＾２｝／ｒ＾３、
∂＾２ｆ／∂ｚ＾２＝Φ”（ｒ）・（ｚ／ｒ）＾２＋Φ’（ｒ）・｛ｒ＾２－ｚ＾２｝／ｒ＾３．
となり、この３者の和が０であることより、
Φ”（ｒ）＋Φ’（ｒ）・（２／ｒ）＝０　となり、これを解いて、
Φ（ｒ）＝（Ａ／ｒ）＋Ｂ
を得ます。（Ａ、Ｂは定数）
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※計算ミス、打ちミスがあれば適当に読み替えてください。

お礼

大変わかりやすい解答でした。
ありがとうございます、