ラプラス方程式の極座標表示

質問

ラプラス方程式を直交座標系から極座標への変換で、極座標変換後の式はテキストで得られましたが、変換の過程ができません。詳しく教えていただけないでしょうか。

d^2f/dx^2 + d^2f/dy^2 = d^2f/dr^2 + (1/r)(df/dr) + (1/r^2)(d^2f/dθ^2)

2次元で結構です。よろしくお願いたします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

pdf直リンクはまずい気もするので、リンクのあるページを紹介します。

デカルト座標でのラプラシアンを球座標に変換する。
面倒な計算なのだけど便利な方法があるらしい。
でもそれはリンク紹介だけ。

というところです。1画面半ぐらいスクロールしたところです。

二次元、三次元ぐらいまでだとこの計算方法でよいですが、
それ以上になるともう少し別の方法でないと計算が絶望的です。
pdf中のリンクで参照できると思いますが、
リンク切れになっている気もします。

参考URL：

http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study.html

お礼

がんばって計算してみました。ありがとうございました。

回答No.2

Rossana

3次元でもできますよ．必要なのは根気ですね．
Hintです！
ψ=ψ(r,θ,φ)，r=r(x,y,z)，θ=θ(x,y,z)，φ=φ(x,y)
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ

まず，これらの式から
１．r^2，tanθ，tanφを計算．
２．１を偏微分することによって∂r/∂x,∂r/∂y,∂r/∂z,∂θ/∂x,∂θ/∂y,∂θ/∂z,∂φ/∂x,∂φ/∂yをすべてx,y,zで表現．あとでこれらの２階偏微分も必要になるが．
３．∂ψ/∂x＝∂ψ/∂r・∂r/∂x＋∂ψ/∂θ・∂θ/∂x＋∂ψ/∂φ・∂φ/∂x
これをさらに偏微分して∂^2ψ/∂x^2を偏微分の記号で表現．
ちょっとしんどいですがガッツ．
同様に∂^2ψ/∂y^2，∂^2ψ/∂z^2も計算．
４．∂^2ψ/∂x^2＋∂^2ψ/∂y^2＋∂^2ψ/∂z^2を偏微分記号の表示のまままとめる．
５．２で求めたものを代入．すると意外に綺麗にまとめれるものが出てくる．
とりあえず流れはこんな感じです．とにかく計算が面倒くさいので，根気が必要です．
計算してて分からないことがあったら補足してください．