ベクトル解析に関する質問です

質問

3次元直交座標系の基底ベクトルを i, j, k とし，位置ベクトルをr=xi+yj+zkで表す.
|r|の関数であるf(|r|)を用いてA(r)=f(|r|)rの形で与えられるベクトル関数であって，全空間において∇・A＝1を満たすものを全て示せ
という問題がわかりません。よろしくお願いいたします。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

vec(r)=(x, y, z), |vec(r)|=sqrt(x^2+y^2+z^2).
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ベクトル関数 A(vec(r)) = f(|vec(r)|)*vec(r). とする。このとき、
div(A)=(∂/∂x){x*f(|vec(r)|)} + (∂/∂y){y*f(|vec(r)|)} + (∂/∂z){z*f(|vec(r)|)}
= 3*f(|vec(r)|) + |vec(r)|*f'(|vec(r)|) = 1.
この方程式を解き、
f(|vec(r)|) = 1/3 + C/|vec(r)|^3, (C:任意定数)
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必ず自分で計算してください。