複素関数の質問です。

質問

解いてみたのですが(1)は0であってますか？あと(2)と(3)を教えてください。特に(3)ができないです(>_<)

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

z~を複素数zの共役複素数とし,複素関数f(z)の複素共役をf(z)~とする。
また,複素数全体の集合をCで表す。
(1)aを実数としたとき
cos(-ia)-[cos{(ia)~}]~=(e^a+e^{-a})/2-(e^a+e^{-a})/2=0
であってます

(2)
f(x)をCで正則な複素関数とし,虚軸上で実数値をとるものとする。
aを実数
z=ia
としたとき
f(-z)-{f(z~)}~
=f(-ia)-[f{(ia)~}]~
↓(ia)~=-iaだから
=f(-ia)-[f(-ia)]~
↓-iaは虚軸上の数だから
↓f(-ia)は実数だから
↓[f(-ia)]~=f(-ia)だから
=f(-ia)-f(-ia)
=0

(3)
(2)で定義された関数f(z)が,さらに実軸上で実数値をとるものとする。
f(z)は正則だから
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
0<|h|<δとなる任意のhに対して
|{f(z~+h)-f(z~)}/h-f'(z~)|<ε
だから
|h~|=|h|<δだから
|{f(z~+h~)-f(z~)}/h~-f'(z~)|<ε

|[{f((z+h)~)}~-{f(z~)}~]/h-{f'(z~)}~|
=|{f(z~+h~)-f(z~)}~/h-{f'(z~)}~|
=|[{f(z~+h~)-f(z~)}/h~]~-{f'(z~)}~|
=|[{f(z~+h~)-f(z~)}/h~-f'(z~)]~|
=|{f(z~+h~)-f(z~)}/h~-f'(z~)|
<ε
∴
lim_{h→0}[{f((z+h)~)}~-{f(z~)}~]/h={f'(z~)}~
∴
{f(z~)}~も正則
∴
f(-z)-{f(z~)}~も正則
自然数nに対して
z_n=i/n
とすると
lim_{n→∞}z_n=0
z_nは虚軸上の数だから(2)から
f(-z_n)-[f{(z_n)~}]~=0
一致の定理から
任意のz∈Cに対して
f(-z)-[f(z~)]~=0
自然数nに対して
a_n=1/n
とすると
lim_{n→∞}a_n=0
a_nとf(a_n)は実数だから
f(-a_n)-[f{(a_n)~}]~
=f(-a_n)-f(a_n)=0
一致の定理から
任意のz∈Cに対して
f(-z)-f(z)=0
∴
f(-z)=f(z)
∴
fは偶関数

お礼

ご丁寧に解答ありがとうございます。{f(z~)}~が正則であることの証明は難しいですね...

回答No.2

178-tall

お気づきでしょうけど、一応脱字訂正。

級数展開でも使い、「題意を満たすには z (-u+jv) の奇数次項が零でなければならぬ」などと弁じてから、与式つまり「虚軸上にて f(iv) の共役値は f(-iv) の共役値に等しい」ことを示せばよさそう。

回答No.1

178-tall

>解いてみたのですが(1)は0であってますか？

あってます。

>あと(2)と(3)を教えてください。特に(3)ができないです

(1) はこれへの伏線だったようで。弁明のシナリオだけでも…。

級数展開でも使い、「題意を満たすには z (-u+jv) の奇数次項が零でなければならぬ」などと弁じてから、与式つまり「虚軸上にて f(iv) の共役値は f(-iv) に等しい」ことを示せばよさそう。

テストなので、論理的な厳密さを装う「簡潔な麗句」を付加すること。
厳密さの一部始終を回答用紙上に展開しようとすると、「紙、ちょうだい」という羽目になります。

要するに、f(z) が偶関数であることをうまく「アピール」できれば、パス。
(あとは、試験官の資質しだい。一度、逆テストしてみる？)