複素関数でのθの求め方

質問

z = 1 - i
w = -√3 + i
と与えられていて、
z*w = 1 - √3 + (1 + √3)i
になりますよね。
このときzwの偏角を求めろと言われたらどう計算すればいいのでしょうか？

自分は, z=-45°、w=150°
だからz*wの偏角はarg(zw)=arg(z)+arg(w)
をつかって、偏角は105°としたんですが、ほかの求め方はないんでしょうか？
教科書でarg(zw)=arg(z)+arg(w)の式が出てくるのはさらにあとなので、これをつかわないで求めることはできないんでしょうか？
久しぶりに復習していて頭がかなり鈍ってるんでよろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

z=√2{cos(-45°)+isin(-45°)}
w=2{cos(150°)+isin(150°)}

zw=2√2{cos(-45°)+isin(-45°)}{cos(150°)+isin(150°)}
=2√2[{cos*cos-sin*sin}+i{sin*cos+cos+sin}] (-45°,150°は省略)
=2√2{cos(-45°+150°)+isin(-45°150°)}
=2√2{cos(105°)+isin(105°)}

∴zwの偏角は105°

こんな風に頑張って計算して求めればいいのではないでしょうか?

arg(zw)=arg(z)+arg(w)を知っているのなら、
これを使って求めても問題ないと思いますが。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

mmky

eatern27さんの回答出てますので参考程度に
複素数の場合は、オイラーの式を使うと簡単ですね。
z=re＾iθ=r{cosθ+isinθ}

z = 1 - i =√2*e＾i(-π/4)
w = -√3 + i =2*e＾i(π-π/6)=2*e＾i(5π/6)
z*w =√2*e＾i(-π/4)*2*e＾i(5π/6)
=2√2*e＾i(-π/4+5π/6)=2√2*e＾i(7π/12)
(7π/12)＝105°
=2√2{cos(7π/12)+isin(7π/12)}
≡(1 - √3) + i(1 + √3)
参考程度に

お礼

ありがとうございました。