複素関数の定積分の問題
- 複素関数の定積分についてわからない問題です。
- f(z)=1/(z^2-3z+2)を図の積分経路で積分します。
- 解法の途中までは正しいですが、最終的な答えが違うようです。
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複素関数の定積分がわかりません
f(z)=1/(z^2-3z+2)を、図のような積分経路で積分する問題です。 図のように、始点はz=3/2、終点はz=-3/2とします。 f(z)を分解して、1/(z-2) - 1/(z-1)にして積分すると、原始関数は F(z)=log(z-1) + log(z-2)になりますよね。 あとは、F(終点を代入) - F(始点を代入)で答えが出るはずだと考えたわけです。始点と終点を代入すると、 log(-3/2 - 1)-log(-3/2 - 2)-log(3/2 - 1)+log(3/2 - 2) となりました。ここまでは間違ってはいないと思います。 複素数の対数を求める公式log(z)=log|z| + arg(z)iに代入すると上の式は log|-5/2| + 2πi - log|-7/2| - 2πni - log|1/2| - 2πni + log|-1/2| +2πni になると思ったのですが、 教科書の解答では、log|-3/2-1| - log|-3/2-2| - log|3/2-1| + log|3/2-2| + arg(-3/2-1)i - arg(-3/2-2)i - arg(3/2-1)i + arg(3/2-2)iとなっており、 最終的な答えはlog(5/7)+πiになります。わたしの式では、虚数成分が消えますのでどうもこの答えになりそうはないです。 困ってます。どなたか教えてください！
- super00
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>教科書には・・曲線c上のz1を始点、z2を終点とし、単一開曲線で与えら>れる積分路C上で関数f(z)が正則ならば > >曲線cに沿った積分∫f(z)dz＝F(z2) - F(z1)である 本当にこんな風に書いてある？？ これはコーシーの積分定理の応用だけども 領域Dで正則な関数fと領域内の二点z1,z2および z1を始点，z2を終点とする領域内の曲線Cに対して 曲線cに沿った積分∫f(z)dz＝F(z2) - F(z1) なら理解できるんだけども・・・ で，この問題はこの条件を満たしてるから F(z)=log(z-1) - log(z-2) として（質問文はプラスとマイナスが違うよ） であって， F(-3/2)-F(3/2) =log(-3/2 - 1)-log(-3/2 - 2)-log(3/2 - 1)+log(3/2 - 2) =log(-5/2)-log(-7/2)-log(1/2)+log(-1/2) =log(5/2)+πi -log(7/2)-πi-log(1/2)+0i+log(1/2)+πi =log(5/2)+πi でしょう． 正の実数の偏角は0 負の実数の偏角はπ であることと， 複素数のlogを間違って使ってるのが間違いの原因 ただ，ここでlogは「主値」をとっていることに注意． 主値を取らない場合は F(z)=LOG(z-1)-Log(z-2) LOGは適当な枝をとった対数 Logも適当な枝をとった対数 のようにかかないといけなくて （同じ枝とは限らないから違う関数とみなす） F(-3/2)-F(3/2)は，n,mを整数として log(5/2)+πi+2nπi -log(7/2)-πi-2mπi -log(1/2)-2nπi + log(1/2) + πi +2mπi = log(5/7)+πi となる．
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- wainder
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複素積分は線積分ですよね。
お礼
確かに線積分です。もう少し具体的に教えていただきたいです。 私のlog(-3/2 - 1)-log(-3/2 - 2)-log(3/2 - 1)+log(3/2 - 2)という途中式までは間違ってないです。そのあとの計算がわからないのでして・・ 教科書はいくつかの途中式と答えを載せた略解しかありません。。
- koko_u_u
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>F(終点を代入) - F(始点を代入)で答えが出るはずだと考えたわけです。 違います。
お礼
どう違うのか教えていただきますでしょうか？ 教科書には・・曲線c上のz1を始点、z2を終点とし、単一開曲線で与えられる積分路C上で関数f(z)が正則ならば 曲線cに沿った積分∫f(z)dz＝F(z2) - F(z1)である と書かれておりますが。 私はこれを複素積分における定積分であると理解しております。 また、この考え方にしたがった途中式までは教科書の答えと同じですし、ここから間違ってるとは考えにくいのですが
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