• ベストアンサー

力学(抵抗力について)

鉛直上向きにy軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。時刻t=0に位置y=y(0)から質量mの物体を鉛直下向きに初速度v(0) (v(0)<0)で放り投げた。物体には、速度vに比例する抵抗力 -bv が働く。 1.運動方程式をvの微分方程式として書き出せ。 2.終端速度の大きさv(t)を求めよ。 3.運動方程式を解いて、t >0におけるv(t).y(t)を求めよ 4.y(0)=0、v(0)=-3v(t)/2 の時、十分時間がたったときのv(t),y(t)の漸近線を求めよ。 問題数多いですが、簡単でいいので途中式もお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.3

あ、訂正。 問い3のC’は C’=y(0)-(m/b)(-mg-bv(0))/b だった それから、問い4のyについては収束する/しないではなかった。 y=(-mgt+(m/b)・e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))/b+C’ ・・・(3) 及び C’=y(0)-(m/b)(-mg-bv(0))/b においてt→∞とし、y(0)=0、v(0)=-3vt/2 とすると y=-mgt/b-(m/b)(-mg+3b・vt/2)/b vt=-mg/b なので y=-mgt/b-(m/b)(-mg-3・mg/2)/b  =-mgt/b+5(m/b)^2・g/2

その他の回答 (2)

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.2

1.物体に働く力は -mg:重力 ーbv:抵抗力 の二つなので、運動方程式は m・dv/dt=-mg-bv ・・・(1) 2.上記において物体の加速度がゼロになるとき、物体の速度が 終端速度になるので ーmg-bv(t)=0 v(t)=-mg/b 3. (1)を変数分離して dv/(-mg-bv)=(1/m)・dt 両辺をtで積分して (-1/b)・log(-mg-bv)=t/m+C (Cは積分定数) t=0のときv=v(0)なので C=(-1/b)・log(-mg-bv(0)) よって log(-mg-bv)=-bt/m+log(-mg-bv(0)) ・・・(2) ーmg-bv=e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))) v=(-mg-e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))/b ・・・(3) この両辺をtで積分すると y=(-mgt+(m/b)・e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))/b+C’ ・・・(3) t=0のときy=y(0)なので C’=y(0)-(m/b)(-mg-bv(0))  *v(t)、y(t)の代わりにv、yと書いていますのでご注意。  *長くなるので(3)へのC’の代入は適宜やって下さい。  *計算にあまり自信がないので確認してください。考え方はOKだと思います。 4.漸近線というのはt→∞のときの極限値ということでいいのかな? (3)においてt→∞とするとe^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))→0なので v→-mg/b yは収束しないでしょう。終端速度に達したらあとは等速運動を続けるので。

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

1.運動方程式 mdv/dt=-mg-bv 2.終端速度の大きさvt vt=constantであってv=vtではdv/dt=0 よって mdv/dt=-mg-bv=0 v=-mg/b=vt 3.mdv/dt=-mg-bvを解く dv/dt=-g-bv/m=-(b/m)(v+mg/b) mg/bは定数なので dv/dt=d(v+mg/b)/dt よって d(v+mg/b)/dt=-(b/m)(v+mg/b) 変数分離して d(v+mg/b)/(v+mg/b)=-(b/m)dt 積分して log(v+mg/b)=-(b/m)t+c v+mg/b=Cexp(-bt/m) v=Cexp(-bt/m)-mg/b y=C(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+D 4.初期条件を入れて漸近解を求める v(0)=C-mg/b=-3vt/2=(3/2)(mg/b) C=(5/2)(mg/b) y(0)=-Cm/b+D=0 D=Cm/b=(5/2)(m/b)^2g よって v(t)=(5/2)(mg/b)exp(-bt/m)-mg/b=(mg/b)[(5/2)exp(-bt/m)-1] y(t)=(5/2)(mg/b)(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+(5/2)(m/b)^2g =(5/2)(m/b)^2g[1-exp(-bt/m)]-mgt/b lim(t→∞)v(t)=-mg/b=vt lim(t→∞)y(t)=(5/2)(m/b)^2g-mgt/b

関連するQ&A

  • 微分積分を用いた力学について

    物体が空気中で落下運動する時、物体は空気中から抵抗力を受ける。抵抗力の大きさは、物体の速度に比例するとする。すなわち、物体の速度がvのときの抵抗力は-γvと表される。ただしγは正の定数である。 質量mの物体を時刻0において空気中で静かに話し、落下運動させた。鉛直下向きを正の向きにとる。時刻tにおける物体の速度をv、重力加速度をgとすると、物体の運動方程式は m((dv)/(dt))=mg-γv と表されその解はv=Aexp(-λt)+B で与えられる。ただし、A、Bおよびλは、条件によって決まる定数である。次の各問いに答えよ。 (1)十分時間が経過すると、物体は一定の速度に達する。この速度を終端速度と呼ぶ。その速度はいくらか。 (2)初期条件(t=0でv=0)および(1)の結果よりA,Bを定めよ。 (3)解を運動方程式に代入し、任意の時刻tにおいて等式が成立することを考慮すると、λは決まる。λはいくらになるか。

  • 空気抵抗の問題です(高校・大学1年レベル)

    物体が原点Oから斜めに打ち上げられた。ただし物体が速度に比例する抵抗(比例定数n>0)を受けるものとする。また、水平方向右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとるとする。 (1)物体の位置ベクトル↑r、物体に作用する重力↑wとして物体の運動方程式を求めよ (2)物体の質量をm、重力加速度の大きさをg、x方向の速度成分をu、y方向の速度成分をvとしたとき、x方向、y方向に関する運動方程式を書きなさい (3)x(0)=0,u(0)=u。の時、x,uを時間tの関数として求めよ (4)y(0)=0,v(0)=v。の時、y,vを時間tの関数として求めよ (5)物体の軌跡(xとyの関係式)を求めよ なんですが解き方と答えを教えてください!お願いします

  • 速度の2乗に比例する抵抗

    質量m、体積Vの物体が水中を落下するとき、速度の2乗に比例する抵抗を受けるとする。その運動方程式を浮力も考慮し解け。 下向きにmg 上向きにkmv^2(kは定数) 浮力がわかりません。 詳しい解説お願いします。

  • 慣性抵抗

    時刻t=0で十分高い位置にある質量mの物体を速度が0(ベクトル)となるようにそっと放した。この物体には地表付近の重力と物体の速度の大きさの2乗に比例する慣性抵抗が作用する。以下の問に答えよ。 なお、重力加速度の大きさはg、単位質量あたりの慣性抵抗の比例定数はβとし、鉛直方向下向きの単位ベクトルをiベクトル、落下している物体の時刻t≠0での速度をv(t)i(ベクトル)とする。 1)この物体に作用する慣性抵抗Fbを文中の記号であらわせ。 2)この物体に作用する力の総和Fを文中の記号であらわせ。 3)この物体の加速度a(t)を文中の記号であらわせ。 4)この物体の時刻tでの運動方程式(ma(t)=F)を文中の記号であらわせ。 5)4)で求めた運動方程式を微分方程式と考えて解き、この物体の時刻tでの速度を表すv(t)を時間tの関数としてあらわせ。 解く途中経過も示すこと。 6)時刻tが十分経過(t→∞)した場合、この物体の速度を表す関数v(t)はどうなるか、示しなさい。 自分の考えだと 1)はFb=-βv^2i(ベクトル) 2)はF=mgi-mβv^2i(ベクトル) 3)はma(t)=mgi-mβv^2i    a(t)=gi-βv^2i までは出来たと思うんですけど、4)~6)がよくわからないので 解き方を教えてください。

  • 物理の力学で

    物体を上向きの力Fで引くとします(質量はm) 下向きには重力加速度gが存在。 いま、物体に乗っている人の立場で考えると、 Fで引いて加速度をαとしたら慣性力がかかって運動方程式(上向きを正とします)を立てると mα= F - m(g + α)とかになるんじゃないんですか?

  • 力学の問題がわかりません。

    質量mの質点の鉛直方向の1次元運動を考える。鉛直上向きにz座標をとる。重力加速度の大きさはg(正の定数)とし、方向はz軸負の向きとする。この質点に、重力に加えて、速度vに比例する抵抗力 F=-λv が働く場合を考える。ここでλは正の定数であり、時間t=0にz=0、v=0であるとする。 (1)加速度aをv,g,mおよびλを用いて表せ。 (2)速度vを時間tの関数として求めよ。 (3)終端速度(t→∞での速度)を求めよ。 (4)位置zを時間tの関数として求めよ。 わからないので教えてくださいませんか。 途中計算もあると嬉しいです。

  • 力学

    1.質量mの質点を、原点から角度θ、速さVで投げ上げた。重力加速度をgとして、運動方程式を立て、与えられた初期条件のもとで解け 2.速度に比例した抵抗-mrvを受ける質量mの質点が、水平面を運動する。その従う運動方程式を立て、それが初速度Vで原点から投げられたという初期条件のもとで解け 3.質量mの物体が、壁に固定されたばねに速度Vで衝突し、逆向きに同じ速度で跳ね返されるときの運動方程式をたてて解け。ばねから受ける力はF=-kxで与えられる 4.原点から(-k1x,-k2y)の力を受けて水平面内を運動する質量mの質点の運動方程式を立てて解け。またそのその運動の軌跡はどうなるか求めよ 自分の解答 1.問題の意味がわかりません。初期条件がなにか   mg=Vsinθ? 2. 3.-mV+F=mV   F=-kx   -kx=2mV    4.

  • 空気の抵抗力

    空気中を落下する物体は、速さvまたはvの2乗に比例する抵抗力 を受ける。物体の速度が増加して、空気の抵抗力と重力の大きさ が等しくなった後は物体の速さは一定である。このときの速さを 終端速度と言う。比較的小さな物体がゆっくり落下する場合は 速さvの二乗に比例する抵抗力を受ける。このときは f=kv   Vt(終端速度)=mg/k 私の国語力がないためか、上の文章を理解できません。 空気の抵抗力と重力の大きさが等しくなるというイメージが沸きません 。また、そうなったらどうして速度は一定なのでしょうか。重力加速度 はどんどん増加しますよね。 さらに、終端速度とは比較的"速いスピード"で落下している物体の 「空気の抵抗力と重力の大きさが等しくなった後の一定の速度」の 事を言うのですよね。なのにどうして、 「比較的小さな物体がゆっくり落下する物体」の終端速度が存在する のでしょうか。 P.S. Vt(終端速度)=mg/kもどうしてこれが導き出されるのか分かりません。

  • 物理 問題

    重力を受けた物体の運動について、以下の問いに答えなさい。ただし、重力による加速度の大きさを9.8(m/s^2)とする。 (1)時刻0(s)のとき、質量0.2(kg)の物体を地面から58.8(m)の高さで鉛直下向きの方向に速さ4.9(m/s)で投げた。地面を原点にしたy軸を鉛直上向きを正にした場合の加速度を答え、落下している物体の時刻t(s)のときの速度vと位置yを表す式を求めなさい。また、物体に働く重力Fを答えなさい。各設問において、物体が地面に達した時の時刻と速度を求めなさい。 加速度a=ー9.8m/a^2 速度v=ー9.8t+4.9 位置y=ー4.9t^2+4.9t+58.8 F=0.2×(ー9.8) F=ー19.6(N) 物体が地面に達した時の時刻t 0=ー4.9t^2+4.9t+58.8 からの計算がよく分からないので教えてください!

  • 物理 問題

    重力を受けた物体の運動について、以下の問いに答えなさい。ただし、重力による加速度の大きさを9.8(m/s^2)とする。 (1)時刻0(s)のとき、質量0.5(kg)の物体を地面から4.9(m)の高さで静かに手を離して落下させた。物体から手を離した位置を原点にしたy軸を鉛直下向きを正にした場合の加速度を答え、落下している物体の時刻t(s)のときの速度vと位置yを表す式を求めなさい。また、物体に働く重力Fを答えなさい。各設問において、物体が地面に達した時の時刻と速度を求めなさい。 t(s)のときの速度v=9.8t         位置y=4.9t^2+4.9 重力F=4.9(N) 物体が地面に達した時の時刻t=1(s)                 速度v=9.8m/s (2)時刻0(s)のとき、質量2(kg)の物体を地面から44.1(m)の高さで静かに手を離して落下させた。地面を原点にしたy軸を鉛直下向きに正にした場合の加速度を答え、落下している物体の時刻t(s)のときの速度vと位置yを表す式を求めなさい。また、物体に働く重力Fを答えなさい。 t(s)の時の速度v=9.8t        位置y=4.9t^2+44.1 重力F=19.6(N) 物体が地面に達した時の時刻t=3(s)                速度v=29.4(m/s) で合ってるでしょうか?