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力学(抵抗力について)

鉛直上向きにy軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。時刻t=0に位置y=y(0)から質量mの物体を鉛直下向きに初速度v(0) (v(0)<0)で放り投げた。物体には、速度vに比例する抵抗力 -bv が働く。 1.運動方程式をvの微分方程式として書き出せ。 2.終端速度の大きさv(t)を求めよ。 3.運動方程式を解いて、t >0におけるv(t).y(t)を求めよ 4.y(0)=0、v(0)=-3v(t)/2 の時、十分時間がたったときのv(t),y(t)の漸近線を求めよ。 問題数多いですが、簡単でいいので途中式もお願いします。

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  • 回答No.3
  • gohtraw
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あ、訂正。 問い3のC’は C’=y(0)-(m/b)(-mg-bv(0))/b だった それから、問い4のyについては収束する/しないではなかった。 y=(-mgt+(m/b)・e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))/b+C’ ・・・(3) 及び C’=y(0)-(m/b)(-mg-bv(0))/b においてt→∞とし、y(0)=0、v(0)=-3vt/2 とすると y=-mgt/b-(m/b)(-mg+3b・vt/2)/b vt=-mg/b なので y=-mgt/b-(m/b)(-mg-3・mg/2)/b  =-mgt/b+5(m/b)^2・g/2

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  • 回答No.2
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

1.物体に働く力は -mg:重力 ーbv:抵抗力 の二つなので、運動方程式は m・dv/dt=-mg-bv ・・・(1) 2.上記において物体の加速度がゼロになるとき、物体の速度が 終端速度になるので ーmg-bv(t)=0 v(t)=-mg/b 3. (1)を変数分離して dv/(-mg-bv)=(1/m)・dt 両辺をtで積分して (-1/b)・log(-mg-bv)=t/m+C (Cは積分定数) t=0のときv=v(0)なので C=(-1/b)・log(-mg-bv(0)) よって log(-mg-bv)=-bt/m+log(-mg-bv(0)) ・・・(2) ーmg-bv=e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))) v=(-mg-e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))/b ・・・(3) この両辺をtで積分すると y=(-mgt+(m/b)・e^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))/b+C’ ・・・(3) t=0のときy=y(0)なので C’=y(0)-(m/b)(-mg-bv(0))  *v(t)、y(t)の代わりにv、yと書いていますのでご注意。  *長くなるので(3)へのC’の代入は適宜やって下さい。  *計算にあまり自信がないので確認してください。考え方はOKだと思います。 4.漸近線というのはt→∞のときの極限値ということでいいのかな? (3)においてt→∞とするとe^(-bt/m+log(-mg-bv(0))))→0なので v→-mg/b yは収束しないでしょう。終端速度に達したらあとは等速運動を続けるので。

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  • 回答No.1

1.運動方程式 mdv/dt=-mg-bv 2.終端速度の大きさvt vt=constantであってv=vtではdv/dt=0 よって mdv/dt=-mg-bv=0 v=-mg/b=vt 3.mdv/dt=-mg-bvを解く dv/dt=-g-bv/m=-(b/m)(v+mg/b) mg/bは定数なので dv/dt=d(v+mg/b)/dt よって d(v+mg/b)/dt=-(b/m)(v+mg/b) 変数分離して d(v+mg/b)/(v+mg/b)=-(b/m)dt 積分して log(v+mg/b)=-(b/m)t+c v+mg/b=Cexp(-bt/m) v=Cexp(-bt/m)-mg/b y=C(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+D 4.初期条件を入れて漸近解を求める v(0)=C-mg/b=-3vt/2=(3/2)(mg/b) C=(5/2)(mg/b) y(0)=-Cm/b+D=0 D=Cm/b=(5/2)(m/b)^2g よって v(t)=(5/2)(mg/b)exp(-bt/m)-mg/b=(mg/b)[(5/2)exp(-bt/m)-1] y(t)=(5/2)(mg/b)(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+(5/2)(m/b)^2g =(5/2)(m/b)^2g[1-exp(-bt/m)]-mgt/b lim(t→∞)v(t)=-mg/b=vt lim(t→∞)y(t)=(5/2)(m/b)^2g-mgt/b

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