高校・大学の物理（力学）教えてください。

質問

ma=mg-bv （a:加速度　b:定数　g:重力加速度　v:速さ　m:質量）
という運動方程式がかける状態があったとして（つまり、質量mの物体が落下しつつ、速さに比例する抵抗力を受けている場合です）、これをx=f(t)の形に直すにはどうすればよいのでしょうか？
位置xの一回微分と二回微分がでてくる微分方程式は初めてでわかりません。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

そんなに難しい話ではないです。
とりあえず位置を表す変数xのことは忘れてください。速度vと加速度aの関係
dv/dt=a　　　(1)
を使えば、与えられた方程式は
m(dv/dt)=mg-bv　　　(2)
という、vについての1階微分方程式に帰着します。
これを解く方法はいろいろありますが、例えばv=u+(mg/b)の変数変換を行い新しい変数uについての方程式にすると
m(du/dt)=-bu　　　(3)
となります。これは
du/u=-(b/m)dt　　　(4)
とすれば直ちにlog |u| =(-b/m)t +Cと解かれて(対数の底はe、すなわち自然対数の底2.71828...)
u=C' exp(-bt/m)　　　(5)
を得ます。ご存じかと思いますがexp(x)とはeのx乗、C'は新たな積分定数です。
uをvに戻すにはv＝u+(mg/b)ですから
v=C' exp(-bt/m)+(mg/b)　　　(6)
とすればよいわけです。
最後に位置x(t)の関数に直す方法ですが、vをtで積分するだけのことですから
x(t)=C1 exp(-bt/m) +(mg/b)t +C2　　　(7)
となります。C1、C2は新たな積分定数です。なおC1はC'との間に
C1=C'm/b　　　(8)
の関係があります。C1, C2は初期条件(あるいはそれに代わるもの)で決定されることは申し上げるまでもありません。

余談ですがt→∞(十分時間が経過したとき)を考えると、(6)式は
v=mg/b　　　(9)
となり物体は一定速で運動することが分かります。これは速度に比例する抵抗と重力がつりあっている状態を意味し、物理的な挙動としても理に適うものです。物体の速度は初速がなんであっても時間とともに(9)の一定速に漸近する、ということです。

お礼

とてもわかりやすい回答をしていただき、ありがとうございます。微分方程式の解き方がよく理解できました！

回答No.3

nubou

Ｕｍａｄａさんのを参考に多少計算しやすくするために

f"(t)+(b/m)・f'(t)=g
は
(f'(t)・exp(t・b/m))'=g・exp(t・b/m)
と等価だから
f'(t)・exp(t・b/m)=(g・m/b)・exp(t・b/m)+C
すなわち
f'(t)=(g・m/b)+C・exp(-t・b/m)
この関数の積分はできるでしょうね？

お礼

どうもありがとうございました。理解できました。

回答No.1

nubou

f"(t)+(b/m)・f'(t)=gを解けばいいのです
(f'(t)+(b/m)・f(t))'=gだから
f'(t)+(b/m)・f(t)=g・t+C1でありこれより
(f(t)・exp(t・b/m))'=(g・t+C1)・exp(t・b/m)
でありこの両辺を積分すればよい
なおC1は初期条件を与えれば求まります

お礼

ありがとうございます！微分方程式はほとんど未経験でしたが、理解することができました。