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電磁気学について質問です！！

2014/04/21 01:22

性電場が保存場であることを示す条件の積分形と微分形を教えてください。積分形は∲F(r)dr=o であっているんでしょうか

ahotin1818
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物理学
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中村拓男（@tknakamuri）
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2014/04/21 08:55 回答No.1

任意の周回積分が0 rotが0

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電磁気学の問題について

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電磁気学(静電場)

一様に帯電した半径Ｒの薄い円板の軸上で、中心から距離ｒの点Ｐにおける電場を計算せよ。という問題なのですが、円板を、円板の軸がｘ軸に一致するようにyz平面において考えました。電荷の面密度をσとすると、z軸上のσがつくる点Ｐでの電位は (σ/4πε)(1/(r^2+z^2)^(1/2)) で、それをz:0→R、θ:0→2πまで積分すると、点Ｐでの電位は φ=(σ/2ε)log((R+(r^2+R^2)^(1/2))/r) となったのですが、ここからどうすればいいのかわかりません。そもそもE=-∇φを使おうと思って電位を出したのですが、φをどのように微分すればいいかわかりません。因みに答えは向きはr方向で、大きさは (σ/2ε)(1-(r/(r^2+R^2)^(1/2))) となっています。宜しくお願いします。
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編入試験の過去問のため、解答がありません。 1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。　　球の中心からの距離がｒの位置での静電ポテンシャルをｒ＜aとr＞aの場合について、それぞれ求　　めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。　　　　よくみかける問題のようで少し違います。ｒ＜aとr＞aの場合とあるため、積分区間がわかりませ　　　ん。よくみかける問題はｒ≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ　　　　ね？というわけで、区間が分からないです。 2.　半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、　　線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。　　1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし　　　て求めよ。　　2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。　　3)円筒内を電位φを求めよ。　　上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対　　しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ　　さい。以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします。
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編入試験の過去問のため、解答がありません。 1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。　　球の中心からの距離がｒの位置での静電ポテンシャルをｒ＜aとr＞aの場合について、それぞれ求　　めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。　　　　よくみかける問題のようで少し違います。ｒ＜aとr＞aの場合とあるため、積分区間がわかりませ　　　ん。よくみかける問題はｒ≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ　　　　ね？というわけで、区間が分からないです。 2.　半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、　　線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。　　1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし　　　て求めよ。　　2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。　　3)円筒内を電位φを求めよ。　　上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対　　しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ　　さい。 ※　1．2．両方とも電位はただ載せるだけではなく求め方(積分区間等）も教えてください。以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします
電磁気学の計算式

電磁気学の途中の計算式がわかりません E=∫[R←0] {az/(2εo)}・rdr/(r^2+z^2)^3/2 から =a/(2εo)・{1-ｚ/√(r^2+z^2)} になるのがよくわかりません。普通に積分すればいいんだと思うんですけど、やり方がわからないので教えてほしいです
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電磁気学の問題で・・・

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物理の電磁気学の問いで、解法がわからないです。問題内容は、半径a中心Oの球が一様に帯電(電荷の総量Qは正)している。 (1)球の中心からの距離をrとしてr>a,r<aそれぞれの領域で電場の強さEと向きを求めよ。 (2)r>a,r<aのそれぞれの領域での電位V(r)を求めよ。ただし、無限遠の電位を0とする。 (3) (2)で求めた電位V(r)のグラフ(縦軸V,横軸r)の概略を描け。グラフを用いて電位と電場の強さの関係を調べよ。この3問です。(1)に関しては、ガウスの法則を用いて解いていくのかなと想像をしているのですが、(2)(3)がわかりません。
静電場のエネルギーの問題

静電場のエネルギーの問題球内に一様に分布する電荷による静電場のエネルギーの問題なのですが U=(1/2)ε_o∫E^2d^3x ←公式ｒは球の中心からの距離このとき電場は中心まわりに球対称に分布しているので、体積積分は１重積分 U＝(1/2)ε_o∫E^2・4πr^2dr （積分区間０から∞）に帰着すると教科書に書いてありました d^3xと4πr^2drのところがどういう意味なのか、どういう関係なのかよくわかりませんまだ大学一年なので積分は習いかけですご回答お願いします
電磁気学の問題のやり直し２

問題をまたやり直したのでもう一度チェックをお願いしたいのとその続きの問題についてのチェックもお願いします問題　半径がｒ1,r2の（ｒ1＜r2）の厚さの無視できる導体球殻１，２が同心状に設置されている。はじめ球殻１，２にはそれぞれＱ１、Ｑ２、の電荷が与えられている。ただし無限遠方の電位は接地電位と同じく０である。球殻の中心をＯとし任意の点ＰのＯからの距離をｒとする。真空の誘電率はε０とする (1)点Ｐでの電場の強さをｒの関数として求めよ ⅰ）0≦r＜r1のときＥⅰ=0 ⅱ）r1＜r＜r２のとき Eⅱ＝Q１/4πε０r^2 ⅲ）r２＜rのときＥⅲ＝(Q1+Q2)/4πε０r^2 (2)点Ｐでの電位をｒの関数として求めなさい ⅰ）0≦r＜r1のときＶⅰ=1/(4πε０)((Q1/r1)+(-Q1/r2)+((Q1+Q2)/r2)) =1/(4πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2)) ⅱ）r1＜r＜r２のとき Vⅱ=1/(4πε０)((Q1/r)+(-Q1/r2)+(Q1+Q2/r2)) =1/(4πε０)((Q1/r)+(Q2/r2)) ⅲ）r２＜rのとき Vⅲ=1/(4πε０)((Q1+Q2)/r) (3)初めの状態で系に蓄えられている電場エネルギーをを求めなさい球殻１Ｕ1=(1/2)Q1V1=Q1/(8πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2)) =1/(8πε０)((Ｑ1^2/r1)+(Q１Q2/r2)) 球殻２ U2=(1/2)Q２V２＝Q2/(８πε０)((Q1+Q2)/r2) =1/(８πε０)((Q1Q2+Q2^2)/r2) したがって球殻１＋球殻２＝1/(８πε０)((Q1^2/r1)+(2Q1Q2+Q2^2)/r2) 4,次に球殻１に接地する。接地した後の球殻１の電荷を求めなさい接地すると球殻１の電位は０となるので V(r1)=1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2))=0 Q'=-Q2r1/r2 ５、４で接地することにより系の電場のエネルギーは変化する。この際系に蓄えられた電場のエネルギーは接地によって増加することはないことを示せ接地したあとの球殻１の電場エネルギーは４の答えより (1/2)Q'V(r1)=(1/2)Q'＊1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2)) 　　　　　　＝０　球殻２の電場エネルギーは (1/2)Q2V2=(1/8πε０)Q2(Q2/r2)) より５の電場エネルギー＜3の電場エネルギーとなる 6,内側の球を外側の球の中心からずらすと電場は変化するか？電荷と面積が変化しないので電場は変化しないと４，５はやり直してみました。6はファイマン物理学の巻末問題です。解答には変化しない、としか書いてなく理由が書いてなかったので、自分の理由の良し悪しの判定をお願いします。よろしくお願いします
電磁気学の問題　最後なのでお願いします

この問題に関して質問するのは3回目になるのですが最後なので見捨てずに回答お願いします聞きたい部分は（５）と（６）の部分です問題　半径がｒ1,r2の（ｒ1＜r2）の厚さの無視できる導体球殻１，２が同心状に設置されている。はじめ球殻１，２にはそれぞれＱ１、Ｑ２、の電荷が与えられている。ただし無限遠方の電位は接地電位と同じく０である。球殻の中心をＯとし任意の点ＰのＯからの距離をｒとする。真空の誘電率はε０とする点Ｐでの電場の強さをｒの関数としてもとめると ⅰ）0≦r＜r1のときＥⅰ=0 ⅱ）r1＜r＜r２のとき Eⅱ＝Q１/4πε０r^2 ⅲ）r２＜rのときＥⅲ＝(Q1+Q2)/4πε０r^2 また点Ｐでの電位をｒの関数として求めると ⅰ）0≦r＜r1のときＶⅰ=1/(4πε０)((Q1/r1)+(-Q1/r2)+((Q1+Q2)/r2)) =1/(4πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2)) ⅱ）r1＜r＜r２のとき Vⅱ=1/(4πε０)((Q1/r)+(-Q1/r2)+(Q1+Q2/r2)) =1/(4πε０)((Q1/r)+(Q2/r2)) ⅲ）r２＜rのとき Vⅲ=1/(4πε０)((Q1+Q2)/r) よって初めの状態で系に蓄えられている電場エネルギーをを求めると球殻１Ｕ1=(1/2)Q1V1=Q1/(8πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2)) =1/(8πε０)((Ｑ1^2/r1)+(Q１Q2/r2)) 球殻２ U2=(1/2)Q２V２＝Q2/(８πε０)((Q1+Q2)/r2) =1/(８πε０)((Q1Q2+Q2^2)/r2) したがって球殻１＋球殻２＝1/(８πε０)((Q1^2/r1)+(2Q1Q2+Q2^2)/r2) 次に球殻１に接地する。接地した後の球殻１の電荷を求めると接地すると球殻１の電位は０となるので V(r1)=1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2))=0 Q'=-Q2r1/r2 ここまでは前回の回答で疑問は解けましたここから聞きたい部分です（５）　接地することにより系の電場のエネルギーは変化する。この際系に蓄えられた電場のエネルギーは接地によって増加することはないことを示せ接地したあとの球殻１の電場エネルギーは４の答えより (1/2)Q'V(r1)=(1/2)Q'＊1/(4πε０)((Q' /r1)+(Q2/r2)) 　　　　　　＝０　球殻２の電場エネルギーは (1/2)Q2V2=(1/8πε０)Q2(Q2/r2)) より５の電場エネルギー＜3の電場エネルギーとなる（6,）内側の球を外側の球の中心からずらすと電場は変化するか？電荷と面積が変化しないので電場は変化しない（６）の解答には変化しない、としか書いてなく理由が書いてなかったので、自分の理由の良し悪しの判定をお願いします。よろしくお願いします
電磁気学について

電磁気学について半径a,b、長さlの同軸円筒体の電極間に電気伝達度ρの物質が詰められているとして、最終的にジュール熱がI^2Rになることを証明したいのですが、まず、中心から距離rでの電流密度i（r）とすると円筒の側面を流れる電流Iは I=2πli(r)なので、i（r）はI/2πlrで、オームの法則より電場はiに比例するから E=I/2πlσrで、a,bの電位差はI/2πlσ*log[b/a]で、Rは1/2πlσ*log[b/a] で、a,bの電位差をVとするとI=2πlσV/log[b/a]で、これとI=2πli(r)を比較して i(r)を出し、単位面積あたりのジュール熱を出し積分したいのですがどのようすれば I^2Rになるかがわからないので教えてください。また、それ以前にどこか間違えていたら教えてください。回答よろしくお願いします。
電磁気学に関する問題についての回答お願いします。

電磁気学の問題になります真空中に図のような半径a[m]の円柱導体とそれを取り囲む半径c[m]の円柱導体よりなる無限長同軸導体がある。円柱導体の周囲は中心より半径b[m]の範囲まで正の一様な電荷密度ρ[C/m^3]で満たされている。円筒導体は接地されており、厚さは考えなくて良い。中心軸からの距離をr[m]として、次の問いに答えよ。ただし、真空の誘電率をε0とする。 (1)中心軸を垂直に横切る断面において、r>b範囲での電気力線の様子を描け。 (2)中心軸を円筒座標系のz軸にとり、rにおける電界E(r)[V/m]を求めよ。 (3)電界の強さE(r)を縦軸、rを横軸にとり、電界のrに対する変化の様子をグラフに描け。 (4)中心から距離aおよび、bの点における電位Va[V]および、Vb[V]を求めよ。 (1)については、円柱の上面、底面には電界はなく、放射状に単位ベクトルer方向の電界が出来る感じでいいのでしょうか？ (2)は、ガウスの法則の積分系と微分系の２つのやり方でやってみたのですが、２つとも考え方が正しいのかご指摘お願いします。細かいところまで指摘してほしいため、出来るだけ詳細に考え方を書きました。・積分系によるやり方 r<aの範囲について r<aの範囲には電荷分布がないので、E=0 a<r<bの範囲について導体なので、内部には電荷はなく表面に電荷が分布して、E=0 ちなみに、電荷は外側の表面だけに集まるのでしょうか？この場合、円筒導体は接地されているので、静電気的な力で。もし接地されていなければ、外面と内面に半分ずつに電荷が分布するのでしょうか？どのような割合で分布するのでしょうか？ b<r<cの範囲についてガウスの積分法則∫E・dA=(Q/ε0)を用いて、Aは円柱の表面積なので、2πrz。 Qは、ρが表面に集まるという考え方が正しいとすると、Q=(2πbz)ρ。ただ、このやり方だと、b*zということで、次元は、[M^2]で、ρは、[C/M^3]の次元で、Q=[C/M]の次元となり、間違っているとも思うのですが。。。よって、E(2πrz)=(1/ε0)（2πbzρ)より、E=(b*ρ)/(ε0*r) r>cの範囲について円筒導体が接地されていることにより、円柱導体の周りの電荷と等量の負の符号の電荷が分布すると考えたので、円柱状のガウス面を考えてやると、相殺して、外側の電界は、E=0となりました。・微分系によるやり方 b<r<cの範囲について divD=ρという微分系のガウスの法則を用いる。φ方向や、z方向は電界は一定で、rだけに依存すると考えられるので、円柱座標のdivDの式をつかって、(1/r)d(rDr)/dr=0より、rDr=C(ただし、Cは、積分定数)。 r=bでは、導体と真空という誘電体の境界なので、Dr=ρとなって、b*ρ=C よって、rDr=b*ρとなり、Dr=(b*ρ)/rとなりました。よって、E=(b*ρ)/(ε0*r) 勘違いしているところや、おかしな考え方をしているところはどこでしょうか？ご指摘と、なぜ間違っているか理由を教えてください。 (3)については、円柱と円筒の間では、１次関数的に電界の強さは、下がっていき、その他の場所ではE(r)=0というグラフでよろしいでしょうか？ (4)は、E=-gradVから得られEを積分して求めればよいとは思うのですが、積分範囲をどうすればいいのかよく分かりません。回答よろしくお願いいたします。
電磁気学の問題のやり直し

問題をやり直したのでもう一度チェックをお願いしたいのとその続きの問題についてのチェックもお願いします問題　半径がｒ1,r2の（ｒ1＜r2）の厚さの無視できる導体球殻１，２が同心状に設置されている。はじめ球殻１，２にはそれぞれＱ１、Ｑ２、の電荷が与えられている。ただし無限遠方の電位は接地電位と同じく０である。球殻の中心をＯとし任意の点ＰのＯからの距離をｒとする。真空の誘電率はε０とする (1)点Ｐでの電場の強さをｒの関数として求めよ ⅰ）0≦r＜r1のときＥⅰ=0 ⅱ）r1＜r＜r２のとき Eⅱ＝Q/4πε０r^2 ⅲ）r２＜rのときＥⅲ＝(Q1+Q2)/4πε０r^2 (2)点Ｐでの電位をｒの関数として求めなさい ⅰ）0≦r＜r1のときＶⅰ=1/(4πε０)((Q1/r1)+(-Q1/r2)+((Q1+Q2)/r2)) =1/(4πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2)) ⅱ）r1＜r＜r２のとき Vⅱ=1/(4πε０)((Q1/r)+(-Q1/r2)+(Q1+Q2/r2)) =1/(4πε０)((Q1/r)+(Q2/r2)) ⅲ）r２＜rのとき Vⅲ=1/(4πε０)((Q1+Q2)/r) (3)初めの状態で系に蓄えられている電場エネルギーをを求めなさい球殻１Ｕ1=(1/2)Q1V1=Q1/(8πε０)((Q1/r1)+(Q1/r2)) =1/(8πε０)((Ｑ1^2/r1)+(Q１Q2/r2)) 球殻２ U2=(1/2)Q２V２＝Q2/(８πε０)((Q1+Q2)/r2) =1/(８πε０)((Q1Q2+Q2^2)/r2) したがって球殻１＋球殻２＝1/(８πε０)((Q1^2/r1)+(2Q1Q2+Q2^2)/r2) 4,次に球殻１に接地する。接地した後の球殻１の電荷を求めなさい接地すると球殻１の電位は０となるのまではわかるのですがそのあとのヒントをください５、４で接地することにより系の電場のエネルギーは変化する。この際系に蓄えられた電場のエネルギーは接地によって増加することはないことを示せ４を解いてないので考え方だけですが４で求めた電荷とＶ２で接地のときのエネルギーを出して３で求めたエネルギーと比べればよいのでしょうか？
電磁気学の問題のチェック

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電磁気学　線積分

先日、電磁気学の演習で線積分の問題を解きました。その際に、線積分∫(c)fdsを計算せよというものがありました。 (c)は∫の添え字です。ちなみにf(x,y,z)=yz+zx+xy C:x =t,y=t^2,z=0(0<=t<=1)という問題でした。しかし、授業で習った線積分は変数sで積分していませんでした。つまり、教科書に載っていない形で問題が出されていたんです。いは結局解答だけは板書されて分かったのですが、どうやらds/dtを計算し、ds=～dtの形に直してから積分してました。～にはx、y、zをそれぞれ微分して２乗足し合わせて平方根をとった式があてはめられていました。つまり（1＋4t^2）^(1/2）です。ここで、疑問なのですがdsとは何を表しているのでしょうか？また、なぜds/dtが～のような式になるのか理解できません。電磁気学で線積分を学ばれた方などで分かる方は解答をお願いします。
保存力に関する質問です。

以下の文章でわからない点が多数ありました。 以下にわからなかった点を示します。   (1) V との内積をとると mV・(d/dt)V = F・V. (d/dt)(mV^2/2) = F・V.  >まずどうして内積をとるとこう変形できるのでしょうか？   (2)積分して，初期値を添え字 o で，また空間的位置を R で表すと  >空間的位置とはなんですか？位置ベクトルでしょうか？ (2)   mV^2/2 - mVo^2/2 = ∫F・V dt = ∫F・dR...(2)  >どうして左辺は定積分なのに右辺は不定積分なのですか？ (4) ∫F・V dt = ∫F・dRと変形できるのはどうしてなのでしょうか？   (5)2)の不定積分は -φ(R) と書くことができます．　　 >どうしてこう書けるのかわかりません。  (6)φ(R)は位置 R だけに依存して，エネルギーの次元を持ちますから，位置エネルギーと呼ぶことができます  　　>エネルギーの次元をもつとはどういうことですか？  (7) φを使うと(2)は mV^2/2 - mVo^2/2 = -φ(R) + φ(Ro). 　　 >どうして不定積分なのに右辺はこう書けるのですか？  大変質問が多いですが、教えてくださると助かります。どうかよろしくお願いします。 ↓もとの文章(保存力と力学的エネルギーの保存について) 『ベクトルを大文字で，スカラーを小文字で表すとします．質点の質量を m，速度を V，働く力を F，時間を t とすると，運動方程式は m(d/dt)V = F...(1) V との内積をとると mV・(d/dt)V = F・V. (d/dt)(mV^2/2) = F・V. 積分して，初期値を添え字 o で，また空間的位置を R で表すと mV^2/2 - mVo^2/2 = ∫F・V dt = ∫F・dR...(2) (2)の積分がその経路によらず，始点と終点だけで決まるような力 F を保存力といいますから，(2)の不定積分は -φ(R) と書くことができます．φ(R)は位置 R だけに依存して，エネルギーの次元を持ちますから，位置エネルギーと呼ぶことができます．φを使うと(2)は mV^2/2 - mVo^2/2 = -φ(R) + φ(Ro). よって， mV^2/2 + φ(R) = mVo^2/2 + φ(Ro)...(3) (3)は力学的エネルギーが保存されることを示しています．』
【電磁気学】電気双極子モーメントがつくる電場の問題

【電磁気学】電気双極子モーメントがつくる電場の問題どうしても分からない問題があるので質問させてください。問題1）直交座標系において、点電荷qが座標原点(0,0,0)に、点電荷-qが位置(0,0,-d)に固定されている。電気双極子モーメントの大きさp=qdが一定になるようにしてq→∞，d→0とした極限を考える。この電気双極子が位置ベクトルr=(x,y,z)につくる電場を求めなさい。 ※b→0の極限で1/((1+b)^a)→1-abとなる近似を使ってよい。問題2）電荷密度ρ=αで電荷が一様に分布した半径Rの球状の電荷分布A（電荷分布Aの中心は座標原点O(0,0,0)）と、電荷密度ρ=-αで電荷が一様に分布した半径Rの球状の電荷分布B（電荷分布Bの中心は位置(0,0,-d)）がある。問題1と同様にp=qd（qは電荷分布Aの全電気量）が一定になるようにしてq→∞，d→0とした極限を考えたとき、 (1)位置ベクトルr(r>R)における電場は問題1で求めたものと同じになる理由を説明しなさい。 (2)位置ベクトルr(r<R)における電場を求めなさい。以上です。よろしくお願いします。

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