電磁気学についてのジュール熱の証明方法
- 同軸円筒体に詰められた物質の電気伝達度を考える際、ジュール熱がI^2Rになることを証明したい。
- 電流密度を定義し、電流と電場の関係をオームの法則を用いて求め、最終的にジュール熱を求めたい。
- 証明方法について教えていただきたい。間違いがあれば指摘していただきたい。
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電磁気学について
電磁気学について 半径a,b、長さlの同軸円筒体の電極間に電気伝達度ρの物質が詰められているとして、 最終的にジュール熱がI^2Rになることを証明したいのですが、 まず、中心から距離rでの電流密度i（r）とすると円筒の側面を流れる電流Iは I=2πli(r)なので、i（r）はI/2πlrで、オームの法則より電場はiに比例するから E=I/2πlσrで、a,bの電位差はI/2πlσ*log[b/a]で、Rは1/2πlσ*log[b/a] で、a,bの電位差をVとするとI=2πlσV/log[b/a]で、これとI=2πli(r)を比較して i(r)を出し、単位面積あたりのジュール熱を出し積分したいのですがどのようすれば I^2Rになるかがわからないので教えてください。 また、それ以前にどこか間違えていたら教えてください。 回答よろしくお願いします。
- red_smith
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電流密度i(r)=I/(2πrl),半径rの位置での発熱密度w=i^2/ρ=I^2/((2πrl)^2ρ)。 全体での発熱W=∫w(2πrl)dr=∫I^2/(2πrlρ)dr=I^2/(2πlρ)log(b/a) （積分区間はaからb)となって、I^Rで求めた値と一致するかと思います。
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