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電磁気学の問題です。

編入試験の過去問のため、解答がありません。 1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。   球の中心からの距離がrの位置での静電ポテンシャルをr<aとr>aの場合について、それぞれ求  めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。      よくみかける問題のようで少し違います。r<aとr>aの場合とあるため、積分区間がわかりませ   ん。よくみかける問題はr≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ    ね?というわけで、区間が分からないです。 2. 半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、  線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。   1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし   て求めよ。   2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。   3)円筒内を電位φを求めよ。   上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対  しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ   さい。 ※ 1.2.両方とも電位はただ載せるだけではなく求め方(積分区間等)も教えてください。 以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします

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noname#154783
noname#154783

多分,疑問点は電場を積分して電位を求める際の,積分区間のさばき方なんでしょうね. 1. 電荷分布が球対称であれば,球対称の中心から距離rの位置での電場は,半径rの球面の内側の電荷全てが中心に集中した場合の電場に等しいことが,ガウスの法則によって判ります. 半径rの球面の内側の電荷は Q(r) = { 4π r^3 ρ/3 (r ≦ a) { 4π a^3 ρ/3 (a ≦ r) したがって,電場の強さは E(r) = Q(r)/(4π ε0 r^2) = { ρr/(3ε0) (r ≦ a) { ρa^3 /(3ε0 r^2) (a ≦ r) 電場の向きは放射状外向きを正としています. で,この電場を積分して電位φ(r)を求めるわけですが,本題である積分区間は ∞→r です: φ(r) = -∫[∞,r] E(r) dr. # aからbまで積分することを ∫[a,b] で表すことにします. i) r ≦ a のとき. φ(r) = -∫[∞,r] E(r) dr = -∫[∞,a] E(r) dr - ∫[a,r] E(r) dr ←多分この行が疑問に対する回答の本質 = -ρa^3 /(3ε0) ∫[∞,a] dr/r^2 - ρ/(3ε0) ∫[a,r] r dr = ρ/(3ε0) {a^2 - r^2 /2 + a^2 /2} = ρ/(3ε0) {(3/2) a^2 - r^2 /2}. ii) a ≦ r のとき. φ(r) = -∫[∞,r] E(r) dr = -ρa^3 /(3ε0) ∫[∞,r] dr/r^2 = ρa^3 /(3ε0 r). まとめて, φ(r) = { ρ/(3ε0) {(3/2) a^2 - r^2 /2} (r ≦ a) { ρa^3 /(3ε0 r) (a ≦ r) # こうすれば,φは至る所で(特にr = aで)連続. 2. 1) 系の対称性より, 電場の向きは導線に垂直で放射状に広がる向き. で,導線を中心軸とする,半径r,長さΔlの円柱状の領域を考え(r < a),この領域でガウスの法則を用いると, E(r)・2π r Δl = ρ Δl/ε0 ∴E(r) = ρ/(2π ε0 r) (r < a). 2) 1)と同様にしてr > aの場合にガウスの法則を求めると, E(r)・2π r Δl = (ρ Δl + σ 2π a Δl)/ε0 ∴E(r) = ρ/(2π ε0 r) + σ a/(ε0 r) (r > a). 然るに,今の場合,円筒より外側では中心導線がつくる電場は遮蔽され, E(r) = 0 (r > a) となるはずである. これを満たすσは ρ/(2π) + σ a = 0 ∴σ = -ρ/(2π a). # こうなるように,導体円筒の正電荷が接地を通じて大地に逃がされる. 3) 接地があれば,接地位置の電位を0とする(つまり設置された円筒が電位の基準とする)お約束なので,円筒の内側(r < a)で φ(r) = -∫[a,r] E(r) dr = -ρ/(2π ε0) ∫[a,r] dr/r = -ρ/(2π ε0) ln(r/a). 以上のように,電位を求めるときの積分区間は 電位の基準位置→電位を求めたい位置 であり,この区間上で φ= -∫ E・dr を計算します. 積分区間上に電場の不連続点があれば,積分区間を分割すればOKです. 結果として電位は連続になります

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質問者からのお礼

大変わかりやすかったです。 ありがとうございました。

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  • 回答No.1

例えば、2なら http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~tanaka/emIge/2007/section2_8.pdf などを参考にしてください。 ほかにも 円筒 コンデンサーなどで検索してください。よくある問題です。 設置するということは、電位の基準を普段は無限大にとりますが、外殻を基準にとるということです。 1は、r>aなら∫[∞→r]Edr r<aは、あなたの言うとおりでOKです。 電磁気の演習書に必ず載っているので見てください。

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