独立な2つの正規分布の共分散の求め方

質問

Y1～N(1,3)、Y2～N(2,5) のように、独立な確率変数があるとします。

ここで W1=Y1+2・Y2、W2=4・Y1-Y2 としたとき、

W1～N(5,23)、W2～N(2,53）というようになりますよね。

このとき、W1とW2の共分散はどのように計算されるのでしょうか。

cov(W1,W2) = E(W1・W2)-E(W1)E(W2) かと思ったのですが、計算結果が合いません。
(答えは2になるそうです)

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

takurinta · ベストアンサー

YをY1, Y2が縦に並んだ列ベクトルとします。
同様に、WをW1, W2が縦に並んだ列ベクトルとします。
A=(1 2, 4 -1) が2行2列の行列であり、W=AYとなっていると思ってください。
行列が書きにくいので、自分で紙に書いて考えてください。
Y^tがYの転置を表すとして、
V(Y)=E[{(Y-E(Y)}{Y-E(Y)}^t]という操作では独立ということから、対角行列(σ1^2 0, 0 σ2^2) が得られ、
V(W) = V(AY) = E[{(AY-E(AY)}{AY-E(AY)}^t]= AV(Y)A^t
と考えて3つの行列の積を計算すると、(σ1^2+4σ2^2 4σ1^2- 2σ2^2, 4σ1^2-2σ2^2 16σ1^2+σ2^2) が得られる。

見づらいと思いますが、定数倍の分散を計算するときに係数の2乗が掛かるように、行列倍の分散については、係数行列と係数行列の転置行列で分散共分散行列を挟み込む、ということです。

お礼

ご指示いただいた通りに計算しますと、確かに答えが合いました。
わかりやすくご説明くださり、ありがとうございました。

回答No.2

ramayana

cov(W1,W2) = E(W1・W2)-E(W1)E(W2) も、答が 2 になることも、正しいです。

計算結果が合わないのは、単純な計算間違いだと思います。