正規分布の問題

質問

こんばんは。
正規分布の問題ですが、最近統計学を学び始めたので、全く理解できません。
どなたかご教示よろしくお願い致します。
解法を教えて頂けると助かりますが、お手数でしたらプロセスだけでもお願い致します。

問題
　サイコロを42000回投げて出た目の総和がある値以上となる確立を0.002以下としたい。この値の最小値はおよそいくらか。
　ただし、目の出る確率は1/6ですべて等しく、何回目にどの目が出るかは互いに独立な事象である。
　なお、確立変数Zの平均E(Z),分散V(Z)が存在するとき、関係式 V(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2 が成り立つ
　また、{Xi} (i=1,2,..,n) が互いに独立かつ同一の確率分布に従う確率変数列で、E(Xi), V(Xi)が有限ならば、nが十分大きいとき、Y=ΣXiは近似的に正規分布に従うとみなせる。
　さらに確立変数Yが正規分布に従うならば、(Y-E(Y))/√(V(X))は標準正規分布に従い、標準正規分布の確立密度関数,
　f(x)=1/√(2π)・e^-x^2/2
に対し、
　∫f(x)dx=0.002 (x; 2.88～+∞)
とする。

解は148000です。よろしくお願い致します。

回答No.3

hitokotonusi · ベストアンサー

問題が総和についてなのでこちらを使ってください。

＞サイコロをｎ回振ったときの目の合計は正規分布に従う。
＞ただし、その分散はもとの分散の【ｎ倍】である。

手順は以下の通り。

１．一つのサイコロを振ったときに出る目Zの平均E(Z)と分散V(Z)を求める

２．ｎ回サイコロを振ったときに出る目の総和Y＝ΣZは、平均E(Y)がn*E(Z)、分散V(Y)がn*V(Z)の正規分布に従うのでn*E(Z)とn*V(Z)を計算する。

※１　この分布を標準化するには
x=[Y-E(Y)]/√[V(Y)]=[Y-n*E(Z)]/√[n*V(Z)]
という変数変換をすればよい。したがって、xをYに戻すには
Y=E(Y)+x*√[V(Y)] = n*E(Z)+x*√[n*V(Z)]
を計算する。

※２　f(x)dxはxがx～x+dxの範囲にある確率なので、xがa以上である確率(上側確率)P(a≦x)は
P(a≦x)=∫f(x)dx (x; a～+∞)　

３．問題では標準化された変数xについて上側確率がP(a≦x)=0.002であり、このときのaがa=2.88と与えられているので、※２にしたがってこのzをYに戻す。

以上です。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
お陰さまでなんとか解くことができ、とても助かりました。

回答No.2

hitokotonusi

#１です。すいません、訂正です

正しくは、

サイコロをｎ回振ったときの目の【平均】は正規分布に従う。
ただし、その分散はもとの分散の１／ｎである。

もしくは、

サイコロをｎ回振ったときの目の合計は正規分布に従う。
ただし、その分散はもとの分散の【ｎ倍】である。

です。

補足

ありがとうございます。

中心極限定理について調べました。
ですが、実際に問題を解いてみると何をしたらいいのか分からなくなってしまいます。

平均値μ,分散σ^2として、Z=(Y-μ)/σ とすると、
P(2.88<Z<∞)=P(2.88σ+μ<Y<∞)=0.002
ここからどうしたらいいのかが分かりません。
求めるものは、サイコロの出た目の総和が0.002となる確立での最小の値なので、P(Y=0.002)を求めたらいいのですか??

平均値が正規分布に従い、分散はもとの分散の1/n倍の条件もどう使っていいかがわかりません。

すみませんが、やさしく教えていただけませんでしょうか。

回答No.1

hitokotonusi

サイコロをｎ回振ったときの目の合計は正規分布に従う。
ただし、その分散はもとの分散の１／ｎである。

という関係(中心極限定理)を使えばいいのでは？

あとは標準正規分布Ｎ(０，１)の上側０．２%点も２．８８と与えられているので、
標準化の逆の操作で元に戻すだけです。