Yに対するY’の値を求めよ（導関数？） (2)

質問

いつも大変お世話になっております。

Yの式からY'を求める問題で苦戦しています。
以下の添付の2問が分かりません（涙）。
お手数ですがご教授頂ければ幸いです。

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

No.1-2です。

ANo.2の補足の質問について

(1)
>　y=ln(x)/(1+e^x)
>y=f(x)/g(x),に対する微分公式y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2を適用して
>　y'=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)/(1+e^x)^2 　←　間違い。以下に訂正。

y'=((1/x)(1+e^x)-ln(x)e^x)/(1+e^x)^2

>式の中の分子の部分で、
>微分公式では
>=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))
>と、「引き算」になっているのですが、
>実際の計算式では、
>=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)
>と「足し算」になっているのですが、
>これはなぜ足し算になるのでしょう。

指摘の通り、転記ミスでです。引き算に訂正願います。
誤：=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)
正：=((1/x)(1+e^x)-ln(x)e^x)

したがって、改めて(1)のy ' の式を書き直せば

　y'=((1/x)(1+e^x)-ln(x)e^x)/(1+e^x)^2
　　= {1+e^x -x ln(x) e^x } / (x+xe^x)^2

となりますね。

＃) 失礼しました。

お礼

分かりました!!!

でもこの手の問題ってホント、
ちょっとでも途中で間違えるとダメですね（涙）。
何度も練習しないといけません。

でもすごく助かりました。
ありがとうございました!!

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo,1の補足について

（1）
>　y'=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)/(1+e^x)^2
>　= {1+e^x +x ln(x) e^x } / (x+xe^x)^2　←　転記ミスです。次行のように訂正する。
　 = {1+e^x +x ln(x) e^x } / {x(1+e^x)^2} ←　分子と分母にxを掛けて、分子の1/xをなくする。

>なぜ最初の（）の一晩最初の数が「1」になり「+e^x」になるのか、
>またどうして+の後に「ｘ」がいきなり現れるかが分かりません。

分子に「1/x」なる分数があるのは不自然なので、分子全体と分母に「x 」 を掛けた結果、
指摘のような式になっただけのことです。

（2）
>y=f(x)/g(x),に対する微分公式y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2を適用して

↑失礼しました。使うのは次の合成関数の微分公式でした。

y=f (g ( h(x) ) )　のとき
　y ' = f ' ( g ( h(x) ) ) * g ' ( h(x) ) * h' (x )

と訂正します。

>y= { 5+e^(3x+8) }^5　
←この式に上記の微分公式をどうやって当てはめるのかがちょっと分かりませんでした。

上の合成関数の微分公式において
　f (x) = x^5 , f ' (x) = ( x^5 ) ' = 5 x^4,
　g(x) = 5+e^x, g ' (x) = (5+e^x ) ' = e^x
　h(x) = 3x+8, h ' (x) = (3x+8) ' = 3
とすれば、いいでしょう。

>　y' =5 { 5+e^(3x+8) }^4×{ 5+e^(3x+8) } '
>　　 =5 { 5+e^(3x+8) }^4×(3x+8)' ×e^(3x+8)
>　　 =15 { 5+e^(3x+8) }^4×e^(3x+8)

補足

たびたびの書き込みありがとうございます。
本当に助かっています。

大変申し訳ございません、
またひとつよく分からないので、
教えて頂けると助かります。

(1)
　y=ln(x)/(1+e^x)

y=f(x)/g(x),に対する微分公式y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2を適用して

　y'=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)/(1+e^x)^2

式の中の分子の部分で、
微分公式では

=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))

と、「引き算」になっているのですが、

実際の計算式では、

=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)

と「足し算」になっているのですが、
これはなぜ足し算になるのでしょう。

回答No.1

info222_

(1)
　y=ln(x)/(1+e^x)

y=f(x)/g(x),に対する微分公式y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2を適用して

　y'=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)/(1+e^x)^2
　　= {1+e^x +x ln(x) e^x } / (x+xe^x)^2

(2)
　y= { 5+e^(3x+8) }^5

y=f(x)/g(x),に対する微分公式y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2を適用して

　y' =5 { 5+e^(3x+8) }^4×{ 5+e^(3x+8) } '
　　 =5 { 5+e^(3x+8) }^4×(3x+8)' ×e^(3x+8)
　　 =15 { 5+e^(3x+8) }^4×e^(3x+8)

補足

早速の書き込みありがとうございます。

すみません（涙）、まだ理解し切れていないところがあるので、
もしよろしかったら引き続きご教授くだされば幸いです。

（1）
　y'=((1/x)(1+e^x)+ln(x)e^x)/(1+e^x)^2　←ここまでは理解が出来たのですが、

　= {1+e^x +x ln(x) e^x } / (x+xe^x)^2

なぜ最初の（）の一晩最初の数が「1」になり「+e^x」になるのか、
またどうして+の後に「ｘ」がいきなり現れるかが分かりません。

（2）

y=f(x)/g(x),に対する微分公式y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2を適用して

y= { 5+e^(3x+8) }^5　←この式に上記の微分公式をどうやって当てはめるのかがちょっと分かりませんでした。

お手数をおかけしてすみません。