Definite integralの問題 2

質問

いつも大変お世話になっております。

Definite integral の問題をといてみました。
添付の解答が合っているかどうかご確認をお願いできますでしょうか。
間違えていたらご教授頂ければ幸いです。
（今回かなり苦戦しているので、出来れば詳しく教えて頂けると助かります。）

お手数をおかけ致しますが、
どうぞよろしくお願い致します。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の合成関数の積分公式に凡ミスがありましたので訂正。

>合成関数の積分公式
>F(x)=∫f(x)dxとおくと
>∫[a,b] g'(x)f(g(x)dx=F(b)-F(a)

この最後の式の正しい式は
　∫[a,b] g'(x)f(g(x)dx=F(g(b))-F(g(a))
です。訂正させていただきます。

お礼

まとめてのお礼ですみません。
おかげさまで授業が全部終わり、
試験も95点、98点、98点といい点数が取れ、
無事Aを獲得することが出来ました。

中学時代、アチーブテストで数学を学年でビリから6番とか取った者の成績とはとても思えません（笑）。

これも皆さんの上手な教え方のおかげです。
本当にありがとうございました。

本来なら皆さんにポイントを差し上げたいのですが、
今回は任意で付けさせて頂きました。

重ね重ね、どうもありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

(1)＞正解です。
因みに2x^2+1=tとおいて、dt/dx=4x、(1/4)dt=xdx
x=0でt=1、x=1でt=3だから
∫[x=0→1]20x(2x^2+1)^4dx=∫[t=1→3]20t^4(1/4)dt
=5∫[t=1→3]t^4dt=5{(1/5)t^5}[t=1→3]
=5[(1/5)*3^5-(1/5)*1^5]=3^5-1=242
(2)∫[x=0→2]x/(x^2+1)dx
＞x^2+1=tとおいて、dt/dx=2x、(1/2)dt=xdx
x=0でt=1、x=2でt=5だから
∫[x=0→2]x/(x^2+1)dx=∫[t=1→5](1/2)(1/t)dt
=(1/2){ln|t|}[t=1→5]=(1/2){ln5-ln1}=(1/2)ln5・・・答
(3)∫[x=0→2]xe^(2x^2)dx
＞2x^2=tとおいて、dt/dx=4x、(1/4)dt=xdx
x=0でt=0、x=2でt=8だから
∫[x=0→2]xe^(2x^2)dx=∫[t=0→8](1/4)e^tdt
=(1/4)(e^t)[t=0→8]=(1/4)(e^8-e^0)=(1/4)(e^8-1)・・・答

回答No.2

info222_

>今回かなり苦戦しているので、出来れば詳しく教えて頂けると助かります。

3問とも、置換積分でもできますが、合成関数の積分公式を使えば一発でできます。

合成関数の積分公式
F(x)=∫f(x)dxとおくと
∫[a,b] g'(x)f(g(x)dx=F(b)-F(a)

(1)
I=∫[0,1]20x(2x^2+1)^4 dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=2x^2+1, g'(x)=4x, f(x)=x^4, F(x)=(1/5)x^5
より
I=5∫[0,1] 4x(2x^2+1)^4 dx=5∫[0,1] g'(x) f(g(x))^4 dx
=5[(1/5)*(2*1^2+1)^5-(1/5)*(2*0^2+1)^5]
=3^5-1^5=242 …(答)

答は合っています。

(2)
I=∫[0,2] x/(x^2+1) dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=x^2+1, g'(x)=2x, f(x)=1/x, F(x)=ln(x)=log[e](x)
より
I=(1/2)∫[0,2] 2x/(x^2+1) dx=(1/2)∫[0,2] g'(x) f(g(x)) dx
=(1/2)[ln(2^2+1)-ln(0^2+1)]
=ln(5)/2 …(答)
(≒0.804718956217…)

答は間違ってます。

(3)
I=∫[0,2] xe^(2x^2) dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=2x^2, g'(x)=4x, f(x)=e^x, F(x)=e^x
より
I=(1/4)∫[0,2] 4xe^(2x^2) dx=(1/4)∫[0,2] g'(x) f(g(x)) dx
=(1/4)[e^(2*2^2)-e^(2*0^2)]
=(e^8-1)/4 …(答)
(≒744.989496760432…)

答は間違ってます。

合成関数の積分公式を使えるようにしっかり覚えておきましょう。
上記回答では、置き換えの途中過程を詳しく書きましたが、「合成関数の積分公式を適用して」と書くだけで、いきなり
「=[F(x)][a,b]=F(b)-F(a)」のところから解答を書けば良いでしょう。
そうすれば、スマートな解答になります。

回答No.1

spring135

(1)OK

I=∫(0→1)20x(2x^2+1)^4dx

y=2x^2+1とおく

dy=4xdx

I=∫(1→3)5y^4dy=[y^5](1→3)=3^5-1=243-1=242

(2)not completed

正解は

I=∫(0→2)x/(x^2+1)dx

y=x^2+1とおく

dy=2xdx

xdx=dy/2

I=∫(0→2)x/(x^2+1)dxI=(1/2)∫(1→5)dy/y=(1/2)[logy](1→5)=(log5)/2=0.8047

(3)NO

正解は

I=∫(0→2)xe^(2x^2)dx

y=2x^2とおく

dy=4xdx

xdx=dy/4

I=∫(0→2)xe^(2x^2)dx=∫(0→8)e^ydy/4=(1/4)[e^y](0→8)=(e^8-1)/4=745