L'Hopital's ruleの問題 2

質問

いつも大変お世話になっております。

添付の解答が合っているかどうかご確認頂ければ幸いです。
違っていたらびしばし教えてください・・・・。

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

（１）OK

（２）L'Hopital's ruleは0/0または∞/∞を満たす限り繰り返し使えます。

lim(x→0)[(e^2x-1-2x-2x^2)/x^3]

=lim(x→0)[(2e^2x-2-4x)/3x^2]= [0/0]

=lim(x→0)[(4e^2x-4)/6x]= [0/0]

=lim(x→0)[(8e^2x)/6]=8/6=4/3

別解としてe^2xの0周りのTaylor展開が使えます。

f(x)=Σ(i=0→∞)[f(n回微分)(0)*x^n/n!]

e^2xのときf(n回微分)(0)=2^n

ゆえに

e^2x=Σ(i=0→∞)[2^n*x^n/n!]

=1+2x+2x^2+(4/3)x^3+...

従って

lim(x→0)[(e^2x-1-2x-2x^2)/x^3]

=lim(x→0)[(1+2x+2x^2+(4/3)x^3+...-1-2x-2x^2)/x^3]

=lim(x→0)[(4/3)x^3+...)/x^3]

=3/4

お礼

ありがとうございました！
すごく分かりやすかったです！！