指数関数a^xとe^x

質問

指数関数の説明で
「任意の指数関数a^xは自然対数Inを用いてexp(In(a)x)と
表現できる。」

とありましたが、これは、任意の指数関数a^xはe^x
と同じといういみなのでしょうか。

また、「任意の」とは、どういう場合をさすのでしょうか。
具体例も記載して頂けると、助かります。
よろしくお願いします。

回答No.4

shuu_01 · ベストアンサー

確かに a は 正の数という条件が必要ですが、

自然対数の定義から、a ＝ e^In(a)

という所まで OK ですか？

In(a) とは e を何乗したら a になるかという数字なので、そういうものなのです

次に指数法則というのがあり、そのひとつに

(a^n)^m ＝ a^nm ってのがあります

以上の知識を使うと、

a^x ＝ (e^In(a))^x ＝ e^｛ In(a)・x ｝となります

お礼

わかりやすく、解説してくださって、
ありがとうございます。

複雑な式をとくのにも、
基本は指数法則を使うのですね。
簡単に見える法則なので、
軽視していましたが、
これからは、法則を意識して、勉強していきます。
ありがとうございました。

回答No.3

noname2727

>>これは、任意の指数関数a^xはe^xと同じといういみなのでしょうか。

そんなことはありません。

一般にexp(x)とはe^xのことをさします

自然対数の底eはexponentialの略なのでe^xのことをexp(x)と表現します。

exp(xln(a))=e^(xln(a))=e^(ln(a^x))となります

これをyとおく時

y＝e^(ln(a^x))

両辺自然対数をとって
lny=ln(e^(ln(a^x)))

=ln(a^x)

対数関数は全単射なので

y＝a^x

すなわち、a^x=exp(xln(a))とあわらされるのです。

任意とは「すべて」という意味です。

すべての指数関数a^xはexp(xln(a))となるということです。

お礼

分かりやすく、理路整然と解答してくださり、
ありがとうございます。
一目で、ぱっと理解できないので、
１文１文、丁寧に、みていきたいです。

回答No.2

178-tall

>exp(In(a)x)は、なんでしょうか。

自然対数の定義をもう一度眺めてください。
b = LN(a) は 「e を b 乗すると a 」だということですネ。

つまり、e^b = a 。
これを x 乗すると？
(e^b)^x = a^x 。

ここで、b = LN(a) とすれば、

　(e^LN(a))^x = e^[x*LN(a) ] = a^x

にたどりつく。

お礼

ありがとうございました。
のみこみがおそいので、
ゆっくり、あなたさまの説明を
考えていきます。

回答No.1

178-tall

>指数関数の説明で　「任意の指数関数a^xは自然対数Inを用いてexp(In(a)x)と　表現できる。」　とありましたが、これは、任意の指数関数a^xはe^x　と同じといういみなのでしょうか。

a^x = e^x という意味ではなさそう・
たとえば、2^x = e^x が任意の x で成立するはずない。

exp(In(a)x) = a^x だということみたいです。

>また、「任意の」とは、どういう場合をさすのでしょうか。

exp(In(a)x) = a^x を使えるのは、a > 0 かつ a≠1 の場合。
その範囲外じゃ使えそうない。わけは、ちょいと考えてみてください。

補足

おはやい回答ありがとうございます。

exp(In(a)x)は、なんでしょうか。

e^xでは、ないのでしょうか。

よろしくお願いします。