数IIIの証明問題が解けません

質問

数IIIの演習問題で以下の添付画像の問題が解けません。
　私は、多分、平均値の定理だと思うのですが。
　どなたか、解ける方おられましたら、ご教示くださるとうれしいです。
　よろしくお願いします。

回答No.2

noname2727

f（x）=(x+2)e^(-x)とおくと
f'(x)=-(x+1)e^(-x)
f"(x)=xe^(-x)・・・（✽）
となります。平均値の定理から

{f（b）-f（a）}/(b-a) =f'(c)=-(c+1)e^(-c)　となるa<c<bが存在します。

（✽）からf’（x）は単調増加なので

f’（a）<f'(c)<f'(b)

よって（a+1）e~(-a)<{f（b）-f（a）}/(b-a)<(b+1)e~(-b)

よって題意が成立する。

回答No.1

noname#199771

＞多分、平均値の定理だと思うのですが。

その通りです。いい勘してますね。

f(x)=(x+2)e^(-x)
と置くと、区間[a,b]について平均値の定理
が使えます。

a<c<bなるcが存在して
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)

見やすいようにg(x)=f'(x)と置くと微分法に
よりgは区間[a,b]上で単調増加であることが
わかります。

[a,b]上gの最小値が左辺、gの最大値が右辺
なので不等式を得ます。