実関数fがaで微分可能である為には次の2条件が必要十分条件
下記の命題が示せず困っています。
公理A Rは完備順序体である。
公理B R*はRの真拡大順序体である。
公理C(関数の公理)任意のn変数実関数fに対し,fの自然延長と呼ばれるn変数超実関数
f*が対応する。特にR*の体演算はRの体演算の自然延長である。
公理D(解の公理)二つの式系がちょうど同じ実解を持つならばそれらはちょうど同じ
超実解を持つ。
[定義1]x∈R*が無限小超実数であるの定義は0<∀r∈R,|x|<r
[定義2]x∈R*が有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<r
[定義3]x,y∈R*において、x≒yの定義はx-yが無限小超実数である。
[定義4]R*∋∀x:有限超実数に対し,x≒yなるy∈Rがただ一つ存在する。このyをxの標
準部分と呼び,st(x)と書く。
[定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
[定義6]fのaでの勾配が存在する時,fはaで微分可能だと言う。
[定義7]実関数fの導関数f'とは次のような関数である。
(1) fのxでの勾配が存在すればf'(x)はその勾配に等しい。
(2) fのxでの勾配が存在しなければf'(x)は定義されない。
という定義です。それで
[問]実関数fがaで微分可能である為には次の2条件が必要十分条件である。
(1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
(2) 0でないあらゆる無限小dxに対し,商(f(a+dx)-f(a))/dx
は有限超実数で共通の標準部分を持つ。
という命題を証明したく思っていますがなかなか出来ません。
まず,
「実関数fがaで微分可能」⇒(1)
を示そうと思うのですが背理法でa≒∃x∈R*;f(x)は定義されない。
と仮定してみましたがここから先に進めません。
「実関数fがaで微分可能」⇒(2)
についても(f(a+dx)-f(a))/dxが有限超実数になる事は
S:=st((f(a+dx)-f(a))/dx)∈Rが存在するので
(f(a+dx)-f(a))/dx≒Sなので(f(a+dx)-f(a))/dx-Sは無限超実数で
0<∃r∈R;|(f(a+dx)-f(a))/dx-S|<r
よって|(f(a+dx)-f(a))/dx|<|S|+r(∈R)と書け、(f(a+dx)-f(a))/dxは有限超実数で
ある。
∀dx1,dx2∈R*,st((f(a+dx1)-f(a))/dx1)=st((f(a+dx2)-f(a))/dx2)が成立する事は
微分可能と勾配の定義から∀dx∈R*,S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)なので
st((f(a+dx1)-f(a))/dx1)=st((f(a+dx2)-f(a))/dx2)が言える。
(1)と(2)⇒「実関数fがaで微分可能」
は(2)から丈で言え,(1)は不要な気もするのですが何処で(1)の条件を使うのでしょう
か?
